Theorem nninfalllem1 16734

Description: Lemma for nninfall 16735. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfall.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfall.inf	|- ( ph -> ( Q ` ( x e. om |-> 1o ) ) = 1o )
nninfall.n	|- ( ph -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
nninfalllem1.p	|- ( ph -> P e. ℕ∞ )
nninfalllem1.n0	|- ( ph -> ( Q ` P ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfalllem1	|- ( ph -> A. n e. om ( P ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   P, i   Q, n   i, n, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x, n)   Q( x, i)

Proof of Theorem nninfalllem1

Dummy variables f j u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( P ` u ) = ( P ` v ) )
2	1	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( u = v -> ( ( P ` u ) = 1o <-> ( P ` v ) = 1o ) )
3	2	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = v -> ( ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) <-> ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) )
4		fveq2 5648	. . . . . 6 |- ( u = n -> ( P ` u ) = ( P ` n ) )
5	4	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( u = n -> ( ( P ` u ) = 1o <-> ( P ` n ) = 1o ) )
6	5	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = n -> ( ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) <-> ( ph -> ( P ` n ) = 1o ) ) )
7		1n0 6643	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
8	7	nesymi 2449	. . . . . . 7 |- -. (/) = 1o
9		nninfalllem1.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ℕ∞ )
10	9	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> P e. ℕ∞ )
11		simplll 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> u e. om )
12		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ph )
13		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) )
14		r19.21v 2610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) <-> ( ph -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( ph -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o ) )
16	12, 15	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o )
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( P ` u ) = (/) )
18	10, 11, 16, 17	nnnninfeq 7387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) )
19	18	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` P ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) )
20		nninfalllem1.n0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` P ) = (/) )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` P ) = (/) )
22		elequ2 2207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = u -> ( i e. n <-> i e. u ) )
23	22	ifbid 3631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = u -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. u , 1o , (/) ) )
24	23	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) )
25	24	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) )
26	25	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( n = u -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
27		nninfall.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29	26, 28, 11	rspcdva 2916	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30	19, 21, 29	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> (/) = 1o )
31	30	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = (/) -> (/) = 1o ) )
32	8, 31	mtoi 670	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> -. ( P ` u ) = (/) )
33		fveq1 5647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = P -> ( f ` suc j ) = ( P ` suc j ) )
34		fveq1 5647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = P -> ( f ` j ) = ( P ` j ) )
35	33, 34	sseq12d 3259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = P -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
36	35	ralbidv 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = P -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
37		df-nninf 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
38	36, 37	elrab2 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ℕ∞ <-> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
39	9, 38	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
40	39	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ( 2o ^m om ) )
41		elmapi 6882	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( 2o ^m om ) -> P : om --> 2o )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P : om --> 2o )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> P : om --> 2o )
44		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> u e. om )
45	43, 44	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( P ` u ) e. 2o )
46		elpri 3696	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ` u ) e. { (/) , 1o } -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
47		df2o3 6640	. . . . . . . . 9 |- 2o = { (/) , 1o }
48	46, 47	eleq2s 2326	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` u ) e. 2o -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
49	45, 48	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
50	49	orcomd 737	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = 1o \/ ( P ` u ) = (/) ) )
51	32, 50	ecased 1386	. . . . 5 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( P ` u ) = 1o )
52	51	exp31 364	. . . 4 |- ( u e. om -> ( A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) -> ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) ) )
53	3, 6, 52	omsinds 4726	. . 3 |- ( n e. om -> ( ph -> ( P ` n ) = 1o ) )
54	53	impcom 125	. 2 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( P ` n ) = 1o )
55	54	ralrimiva 2606	1 |- ( ph -> A. n e. om ( P ` n ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ifcif 3607   {cpr 3674   |-> cmpt 4155   suc csuc 4468   omcom 4694   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ^m cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7379

This theorem is referenced by:  nninfall  16735