Theorem nninfalllem1 15498

Description: Lemma for nninfall 15499. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfall.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfall.inf	|- ( ph -> ( Q ` ( x e. om |-> 1o ) ) = 1o )
nninfall.n	|- ( ph -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
nninfalllem1.p	|- ( ph -> P e. ℕ∞ )
nninfalllem1.n0	|- ( ph -> ( Q ` P ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfalllem1	|- ( ph -> A. n e. om ( P ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   P, i   Q, n   i, n, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x, n)   Q( x, i)

Proof of Theorem nninfalllem1

Dummy variables f j u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( P ` u ) = ( P ` v ) )
2	1	eqeq1d 2202	. . . . 5 |- ( u = v -> ( ( P ` u ) = 1o <-> ( P ` v ) = 1o ) )
3	2	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = v -> ( ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) <-> ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) )
4		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( u = n -> ( P ` u ) = ( P ` n ) )
5	4	eqeq1d 2202	. . . . 5 |- ( u = n -> ( ( P ` u ) = 1o <-> ( P ` n ) = 1o ) )
6	5	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = n -> ( ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) <-> ( ph -> ( P ` n ) = 1o ) ) )
7		1n0 6485	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
8	7	nesymi 2410	. . . . . . 7 |- -. (/) = 1o
9		nninfalllem1.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ℕ∞ )
10	9	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> P e. ℕ∞ )
11		simplll 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> u e. om )
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ph )
13		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) )
14		r19.21v 2571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) <-> ( ph -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( ph -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o ) )
16	12, 15	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o )
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( P ` u ) = (/) )
18	10, 11, 16, 17	nnnninfeq 7187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) )
19	18	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` P ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) )
20		nninfalllem1.n0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` P ) = (/) )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` P ) = (/) )
22		elequ2 2169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = u -> ( i e. n <-> i e. u ) )
23	22	ifbid 3578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = u -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. u , 1o , (/) ) )
24	23	mpteq2dv 4120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) )
25	24	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) )
26	25	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . 10 |- ( n = u -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
27		nninfall.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29	26, 28, 11	rspcdva 2869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30	19, 21, 29	3eqtr3d 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> (/) = 1o )
31	30	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = (/) -> (/) = 1o ) )
32	8, 31	mtoi 665	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> -. ( P ` u ) = (/) )
33		fveq1 5553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = P -> ( f ` suc j ) = ( P ` suc j ) )
34		fveq1 5553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = P -> ( f ` j ) = ( P ` j ) )
35	33, 34	sseq12d 3210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = P -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
36	35	ralbidv 2494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = P -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
37		df-nninf 7179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
38	36, 37	elrab2 2919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ℕ∞ <-> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
39	9, 38	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
40	39	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ( 2o ^m om ) )
41		elmapi 6724	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( 2o ^m om ) -> P : om --> 2o )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P : om --> 2o )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> P : om --> 2o )
44		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> u e. om )
45	43, 44	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( P ` u ) e. 2o )
46		elpri 3641	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ` u ) e. { (/) , 1o } -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
47		df2o3 6483	. . . . . . . . 9 |- 2o = { (/) , 1o }
48	46, 47	eleq2s 2288	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` u ) e. 2o -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
49	45, 48	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
50	49	orcomd 730	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = 1o \/ ( P ` u ) = (/) ) )
51	32, 50	ecased 1360	. . . . 5 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( P ` u ) = 1o )
52	51	exp31 364	. . . 4 |- ( u e. om -> ( A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) -> ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) ) )
53	3, 6, 52	omsinds 4654	. . 3 |- ( n e. om -> ( ph -> ( P ` n ) = 1o ) )
54	53	impcom 125	. 2 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( P ` n ) = 1o )
55	54	ralrimiva 2567	1 |- ( ph -> A. n e. om ( P ` n ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ifcif 3557   {cpr 3619   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1oc1o 6462   2oc2o 6463   ^m cmap 6702  ℕ_∞xnninf 7178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1o 6469  df-2o 6470  df-map 6704  df-nninf 7179

This theorem is referenced by:  nninfall  15499