Theorem sseq12d 3268

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3216  df-ss 3223

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3281  3sstr4d  3282  ssdifeq0  3591  relcnvtr  5281  suppfnss  6456  rdgisucinc  6615  oawordriexmid  6702  nnaword  6743  nnawordi  6747  sbthlem2  7227  isbth  7236  nninff  7412  nninfninc  7413  infnninf  7414  infnninfOLD  7415  nnnninf  7416  nnnninfeq  7418  nnnninfeq2  7419  nninfwlpoimlemg  7465  swrdval  11333  ennnfonelemkh  13152  ennnfonelemrnh  13156  isstruct2im  13211  isstruct2r  13212  basis1  14899  baspartn  14902  eltg  14904  metss  15346  isausgren  16149  issubgr  16239  subgrprop3  16244  wkslem1  16302  wkslem2  16303  iswlk  16305  wlkres  16361  eupthseg  16434  0nninf  16769  nnsf  16770  peano4nninf  16771  nninfalllem1  16773  nninfself  16778