Theorem sseq12d 3268

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3216  df-ss 3223

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3281  3sstr4d  3282  ssdifeq0  3591  relcnvtr  5281  suppfnss  6456  rdgisucinc  6615  oawordriexmid  6702  nnaword  6743  nnawordi  6747  sbthlem2  7227  isbth  7236  nninff  7412  nninfninc  7413  infnninf  7414  infnninfOLD  7415  nnnninf  7416  nnnninfeq  7418  nnnninfeq2  7419  nninfwlpoimlemg  7465  swrdval  11336  ennnfonelemkh  13155  ennnfonelemrnh  13159  isstruct2im  13214  isstruct2r  13215  basis1  14904  baspartn  14907  eltg  14909  metss  15351  isausgren  16154  issubgr  16244  subgrprop3  16249  wkslem1  16307  wkslem2  16308  iswlk  16310  wlkres  16366  eupthseg  16439  0nninf  16774  nnsf  16775  peano4nninf  16776  nninfalllem1  16778  nninfself  16783