Theorem sseq12d 3078

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3076	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3077	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 187	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1299   ⊆ wss 3021

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-11 1452  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-in 3027  df-ss 3034

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3091  3sstr4d  3092  ssdifeq0  3392  relcnvtr  4994  rdgisucinc  6212  oawordriexmid  6296  nnaword  6337  nnawordi  6341  sbthlem2  6774  isbth  6783  infnninf  6934  nnnninf  6935  ennnfonelemkh  11717  ennnfonelemrnh  11721  isstruct2im  11751  isstruct2r  11752  ressid2  11800  ressval2  11801  basis1  11996  baspartn  11999  eltg  12003  metss  12422  0nninf  12781  nninff  12782  nnsf  12783  peano4nninf  12784  nninfalllemn  12786  nninfalllem1  12787  nninfself  12793