Theorem sseq12d 3255

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3253	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3268  3sstr4d  3269  ssdifeq0  3574  relcnvtr  5248  rdgisucinc  6537  oawordriexmid  6624  nnaword  6665  nnawordi  6669  sbthlem2  7133  isbth  7142  nninff  7297  nninfninc  7298  infnninf  7299  infnninfOLD  7300  nnnninf  7301  nnnninfeq  7303  nnnninfeq2  7304  nninfwlpoimlemg  7350  swrdval  11188  ennnfonelemkh  12991  ennnfonelemrnh  12995  isstruct2im  13050  isstruct2r  13051  basis1  14729  baspartn  14732  eltg  14734  metss  15176  isausgren  15973  wkslem1  16041  wkslem2  16042  iswlk  16044  wlkres  16098  0nninf  16400  nnsf  16401  peano4nninf  16402  nninfalllem1  16404  nninfself  16409