Theorem sseq12d 3279

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3292  3sstr4d  3293  ssdifeq0  3610  relcnvtr  5305  suppfnss  6491  rdgisucinc  6650  oawordriexmid  6737  nnaword  6778  nnawordi  6782  sbthlem2  7269  isbth  7278  nninff  7456  nninfninc  7457  infnninf  7458  infnninfOLD  7459  nnnninf  7460  nnnninfeq  7462  nnnninfeq2  7463  nninfwlpoimlemg  7509  swrdval  11403  ennnfonelemkh  13286  ennnfonelemrnh  13290  isstruct2im  13345  isstruct2r  13346  basis1  15131  baspartn  15134  eltg  15136  metss  15578  isausgren  16391  issubgr  16481  subgrprop3  16486  wkslem1  16544  wkslem2  16545  iswlk  16547  wlkres  16603  eupthseg  16676  0nninf  17021  nnsf  17022  peano4nninf  17023  nninfalllem1  17025  nninfself  17030