Theorem sseq12d 3184

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ⊆ wss 3127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-11 1504  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-in 3133  df-ss 3140

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3197  3sstr4d  3198  ssdifeq0  3503  relcnvtr  5140  rdgisucinc  6376  oawordriexmid  6461  nnaword  6502  nnawordi  6506  sbthlem2  6947  isbth  6956  nninff  7111  infnninf  7112  infnninfOLD  7113  nnnninf  7114  nnnninfeq  7116  nnnninfeq2  7117  nninfwlpoimlemg  7163  ennnfonelemkh  12378  ennnfonelemrnh  12382  isstruct2im  12437  isstruct2r  12438  ressid2  12488  ressval2  12489  basis1  13096  baspartn  13099  eltg  13103  metss  13545  0nninf  14294  nnsf  14295  peano4nninf  14296  nninfalllem1  14298  nninfself  14303