Theorem sseq12d 3255

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3253	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3268  3sstr4d  3269  ssdifeq0  3574  relcnvtr  5251  rdgisucinc  6542  oawordriexmid  6629  nnaword  6670  nnawordi  6674  sbthlem2  7141  isbth  7150  nninff  7305  nninfninc  7306  infnninf  7307  infnninfOLD  7308  nnnninf  7309  nnnninfeq  7311  nnnninfeq2  7312  nninfwlpoimlemg  7358  swrdval  11201  ennnfonelemkh  13004  ennnfonelemrnh  13008  isstruct2im  13063  isstruct2r  13064  basis1  14742  baspartn  14745  eltg  14747  metss  15189  isausgren  15986  wkslem1  16092  wkslem2  16093  iswlk  16095  wlkres  16149  0nninf  16484  nnsf  16485  peano4nninf  16486  nninfalllem1  16488  nninfself  16493