Theorem sseq12d 3271

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3269	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3219  df-ss 3226

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3284  3sstr4d  3285  ssdifeq0  3594  relcnvtr  5284  suppfnss  6459  rdgisucinc  6618  oawordriexmid  6705  nnaword  6746  nnawordi  6750  sbthlem2  7230  isbth  7239  nninff  7415  nninfninc  7416  infnninf  7417  infnninfOLD  7418  nnnninf  7419  nnnninfeq  7421  nnnninfeq2  7422  nninfwlpoimlemg  7468  swrdval  11348  ennnfonelemkh  13184  ennnfonelemrnh  13188  isstruct2im  13243  isstruct2r  13244  basis1  14961  baspartn  14964  eltg  14966  metss  15408  isausgren  16211  issubgr  16301  subgrprop3  16306  wkslem1  16364  wkslem2  16365  iswlk  16367  wlkres  16423  eupthseg  16496  0nninf  16831  nnsf  16832  peano4nninf  16833  nninfalllem1  16835  nninfself  16840