Theorem sseq12d 3279

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sseq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sseq1d 3277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3		sseq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sseq2d 3278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  3sstr3d  3292  3sstr4d  3293  ssdifeq0  3610  relcnvtr  5310  suppfnss  6501  rdgisucinc  6660  oawordriexmid  6747  nnaword  6788  nnawordi  6792  sbthlem2  7281  isbth  7290  nninff  7469  nninfninc  7470  infnninf  7471  infnninfOLD  7472  nnnninf  7473  nnnninfeq  7475  nnnninfeq2  7476  nninfwlpoimlemg  7522  swrdval  11443  ennnfonelemkh  13362  ennnfonelemrnh  13366  isstruct2im  13421  isstruct2r  13422  basis1  15285  baspartn  15288  eltg  15290  metss  15732  isausgren  16625  issubgr  16715  subgrprop3  16720  wkslem1  16778  wkslem2  16779  iswlk  16781  wlkres  16837  eupthseg  16910  0nninf  17265  nnsf  17266  peano4nninf  17267  nninfalllem1  17269  nninfself  17274