Theorem nninff 13198

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	|- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )

Proof of Theorem nninff

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5420	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( f ` suc i ) = ( A ` suc i ) )
2		fveq1 5420	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( f ` i ) = ( A ` i ) )
3	1, 2	sseq12d 3128	. . . . 5 |- ( f = A -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
4	3	ralbidv 2437	. . . 4 |- ( f = A -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
5		df-nninf 7007	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
6	4, 5	elrab2 2843	. . 3 |- ( A e. ℕ∞ <-> ( A e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
7	6	simplbi 272	. 2 |- ( A e. ℕ∞ -> A e. ( 2o ^m om ) )
8		elmapi 6564	. 2 |- ( A e. ( 2o ^m om ) -> A : om --> 2o )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   C_ wss 3071   suc csuc 4287   omcom 4504   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   2oc2o 6307   ^m cmap 6542  ℕ_∞xnninf 7005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-nninf 7007

This theorem is referenced by:  nnsf  13199  peano4nninf  13200  nninfalllemn  13202  nninfall  13204  nninfsellemeqinf  13212