ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninff Unicode version

Theorem nninff 7081
Description: An element of ℕ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninff  |-  ( A  e.  ->  A : om --> 2o )

Proof of Theorem nninff
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5482 . . . . . 6  |-  ( f  =  A  ->  (
f `  suc  i )  =  ( A `  suc  i ) )
2 fveq1 5482 . . . . . 6  |-  ( f  =  A  ->  (
f `  i )  =  ( A `  i ) )
31, 2sseq12d 3171 . . . . 5  |-  ( f  =  A  ->  (
( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( A `  suc  i
)  C_  ( A `  i ) ) )
43ralbidv 2464 . . . 4  |-  ( f  =  A  ->  ( A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  ( A `  suc  i ) 
C_  ( A `  i ) ) )
5 df-nninf 7079 . . . 4  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
64, 5elrab2 2883 . . 3  |-  ( A  e.  <->  ( A  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. i  e.  om  ( A `  suc  i ) 
C_  ( A `  i ) ) )
76simplbi 272 . 2  |-  ( A  e.  ->  A  e.  ( 2o 
^m  om ) )
8 elmapi 6630 . 2  |-  ( A  e.  ( 2o  ^m  om )  ->  A : om
--> 2o )
97, 8syl 14 1  |-  ( A  e.  ->  A : om --> 2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1342    e. wcel 2135   A.wral 2442    C_ wss 3114   suc csuc 4340   omcom 4564   -->wf 5181   ` cfv 5185  (class class class)co 5839   2oc2o 6372    ^m cmap 6608  ℕxnninf 7078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-br 3980  df-opab 4041  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-fv 5193  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-map 6610  df-nninf 7079
This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7086  nnnninfeq2  7087  nninfisol  7091  nnsf  13778  peano4nninf  13779  nninfall  13782  nninfsellemeqinf  13789
  Copyright terms: Public domain W3C validator