Theorem nninff 7239

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	|- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )

Proof of Theorem nninff

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5588	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( f ` suc i ) = ( A ` suc i ) )
2		fveq1 5588	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( f ` i ) = ( A ` i ) )
3	1, 2	sseq12d 3228	. . . . 5 |- ( f = A -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
4	3	ralbidv 2507	. . . 4 |- ( f = A -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
5		df-nninf 7237	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
6	4, 5	elrab2 2936	. . 3 |- ( A e. ℕ∞ <-> ( A e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
7	6	simplbi 274	. 2 |- ( A e. ℕ∞ -> A e. ( 2o ^m om ) )
8		elmapi 6770	. 2 |- ( A e. ( 2o ^m om ) -> A : om --> 2o )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   C_ wss 3170   suc csuc 4420   omcom 4646   -->wf 5276   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   2oc2o 6509   ^m cmap 6748  ℕ_∞xnninf 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-map 6750  df-nninf 7237

This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7245  nnnninfeq2  7246  nninfisol  7250  nninfdcinf  7288  nninfwlpor  7291  nninfctlemfo  12436  nnsf  16083  peano4nninf  16084  nninfall  16087  nninfsellemeqinf  16094  nnnninfex  16100  nninfnfiinf  16101