Theorem nninff 7197

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	|- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )

Proof of Theorem nninff

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5560	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( f ` suc i ) = ( A ` suc i ) )
2		fveq1 5560	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( f ` i ) = ( A ` i ) )
3	1, 2	sseq12d 3215	. . . . 5 |- ( f = A -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
4	3	ralbidv 2497	. . . 4 |- ( f = A -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
5		df-nninf 7195	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
6	4, 5	elrab2 2923	. . 3 |- ( A e. ℕ∞ <-> ( A e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
7	6	simplbi 274	. 2 |- ( A e. ℕ∞ -> A e. ( 2o ^m om ) )
8		elmapi 6738	. 2 |- ( A e. ( 2o ^m om ) -> A : om --> 2o )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   suc csuc 4401   omcom 4627   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   2oc2o 6477   ^m cmap 6716  ℕ_∞xnninf 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718  df-nninf 7195

This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7203  nnnninfeq2  7204  nninfisol  7208  nninfdcinf  7246  nninfwlpor  7249  nninfctlemfo  12232  nnsf  15736  peano4nninf  15737  nninfall  15740  nninfsellemeqinf  15747