Theorem nninff 13373

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	|- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )

Proof of Theorem nninff

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5428	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( f ` suc i ) = ( A ` suc i ) )
2		fveq1 5428	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( f ` i ) = ( A ` i ) )
3	1, 2	sseq12d 3133	. . . . 5 |- ( f = A -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
4	3	ralbidv 2438	. . . 4 |- ( f = A -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
5		df-nninf 7015	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
6	4, 5	elrab2 2847	. . 3 |- ( A e. ℕ∞ <-> ( A e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( A ` suc i ) C_ ( A ` i ) ) )
7	6	simplbi 272	. 2 |- ( A e. ℕ∞ -> A e. ( 2o ^m om ) )
8		elmapi 6572	. 2 |- ( A e. ( 2o ^m om ) -> A : om --> 2o )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   suc csuc 4295   omcom 4512   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   2oc2o 6315   ^m cmap 6550  ℕ_∞xnninf 7013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-map 6552  df-nninf 7015

This theorem is referenced by:  nnsf  13374  peano4nninf  13375  nninfalllemn  13377  nninfall  13379  nninfsellemeqinf  13387