Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninff Unicode version

Theorem nninff 13259
Description: An element of ℕ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninff  |-  ( A  e.  ->  A : om --> 2o )

Proof of Theorem nninff
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5420 . . . . . 6  |-  ( f  =  A  ->  (
f `  suc  i )  =  ( A `  suc  i ) )
2 fveq1 5420 . . . . . 6  |-  ( f  =  A  ->  (
f `  i )  =  ( A `  i ) )
31, 2sseq12d 3128 . . . . 5  |-  ( f  =  A  ->  (
( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( A `  suc  i
)  C_  ( A `  i ) ) )
43ralbidv 2437 . . . 4  |-  ( f  =  A  ->  ( A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  ( A `  suc  i ) 
C_  ( A `  i ) ) )
5 df-nninf 7007 . . . 4  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
64, 5elrab2 2843 . . 3  |-  ( A  e.  <->  ( A  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. i  e.  om  ( A `  suc  i ) 
C_  ( A `  i ) ) )
76simplbi 272 . 2  |-  ( A  e.  ->  A  e.  ( 2o 
^m  om ) )
8 elmapi 6564 . 2  |-  ( A  e.  ( 2o  ^m  om )  ->  A : om
--> 2o )
97, 8syl 14 1  |-  ( A  e.  ->  A : om --> 2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416    C_ wss 3071   suc csuc 4287   omcom 4504   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   2oc2o 6307    ^m cmap 6542  ℕxnninf 7005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-nninf 7007
This theorem is referenced by:  nnsf  13260  peano4nninf  13261  nninfalllemn  13263  nninfall  13265  nninfsellemeqinf  13273
  Copyright terms: Public domain W3C validator