ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnninfOLD Unicode version

Theorem infnninfOLD 7122
Description: Obsolete version of infnninf 7121 as of 10-Aug-2024. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infnninfOLD  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.

Proof of Theorem infnninfOLD
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2o 6442 . . . 4  |-  1o  e.  2o
21fconst6 5415 . . 3  |-  ( om 
X.  { 1o }
) : om --> 2o
3 2onn 6521 . . . . 5  |-  2o  e.  om
43elexi 2749 . . . 4  |-  2o  e.  _V
5 omex 4592 . . . 4  |-  om  e.  _V
64, 5elmap 6676 . . 3  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( om  X.  { 1o } ) : om --> 2o )
72, 6mpbir 146 . 2  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  ( 2o 
^m  om )
8 peano2 4594 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
9 1oex 6424 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
109fvconst2 5732 . . . . . 6  |-  ( suc  i  e.  om  ->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
118, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
129fvconst2 5732 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
)  =  1o )
1311, 12eqtr4d 2213 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
14 eqimss 3209 . . . 4  |-  ( ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
)  ->  ( ( om  X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
)
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
1615rgen 2530 . 2  |-  A. i  e.  om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
17 fveq1 5514 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i ) )
18 fveq1 5514 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
1917, 18sseq12d 3186 . . . 4  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
2019ralbidv 2477 . . 3  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( A. i  e. 
om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
21 df-nninf 7118 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
2220, 21elrab2 2896 . 2  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  <-> 
( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. i  e. 
om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
) )
237, 16, 22mpbir2an 942 1  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    C_ wss 3129   {csn 3592   suc csuc 4365   omcom 4589    X. cxp 4624   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   1oc1o 6409   2oc2o 6410    ^m cmap 6647  ℕxnninf 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1o 6416  df-2o 6417  df-map 6649  df-nninf 7118
This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10437
  Copyright terms: Public domain W3C validator