Theorem infnninfOLD 7069

Description: Obsolete version of infnninf 7068 as of 10-Aug-2024. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
infnninfOLD	|- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninfOLD

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6390	. . . 4 |- 1o e. 2o
2	1	fconst6 5370	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) : om --> 2o
3		2onn 6469	. . . . 5 |- 2o e. om
4	3	elexi 2724	. . . 4 |- 2o e. _V
5		omex 4553	. . . 4 |- om e. _V
6	4, 5	elmap 6623	. . 3 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { 1o } ) : om --> 2o )
7	2, 6	mpbir 145	. 2 |- ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om )
8		peano2 4555	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
9		1oex 6372	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
10	9	fvconst2 5684	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
12	9	fvconst2 5684	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` i ) = 1o )
13	11, 12	eqtr4d 2193	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
14		eqimss 3182	. . . 4 |- ( ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
16	15	rgen 2510	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i )
17		fveq1 5468	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) )
18		fveq1 5468	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
19	17, 18	sseq12d 3159	. . . 4 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
20	19	ralbidv 2457	. . 3 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
21		df-nninf 7065	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
22	20, 21	elrab2 2871	. 2 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
23	7, 16, 22	mpbir2an 927	1 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   C_ wss 3102   {csn 3560   suc csuc 4326   omcom 4550   X. cxp 4585   -->wf 5167   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   1oc1o 6357   2oc2o 6358   ^m cmap 6594  ℕ_∞xnninf 7064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1o 6364  df-2o 6365  df-map 6596  df-nninf 7065

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10341