Theorem infnninfOLD 7416

Description: Obsolete version of infnninf 7415 as of 10-Aug-2024. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
infnninfOLD	|- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninfOLD

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6675	. . . 4 |- 1o e. 2o
2	1	fconst6 5567	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) : om --> 2o
3		2onn 6754	. . . . 5 |- 2o e. om
4	3	elexi 2826	. . . 4 |- 2o e. _V
5		omex 4715	. . . 4 |- om e. _V
6	4, 5	elmap 6911	. . 3 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { 1o } ) : om --> 2o )
7	2, 6	mpbir 146	. 2 |- ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om )
8		peano2 4717	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
9		1oex 6655	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
10	9	fvconst2 5900	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
12	9	fvconst2 5900	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` i ) = 1o )
13	11, 12	eqtr4d 2268	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
14		eqimss 3292	. . . 4 |- ( ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
16	15	rgen 2595	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i )
17		fveq1 5669	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) )
18		fveq1 5669	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
19	17, 18	sseq12d 3269	. . . 4 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
20	19	ralbidv 2542	. . 3 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
21		df-nninf 7411	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
22	20, 21	elrab2 2976	. 2 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
23	7, 16, 22	mpbir2an 951	1 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   {csn 3689   suc csuc 4486   omcom 4712   X. cxp 4747   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ^m cmap 6882  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-nninf 7411

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10801