ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnninfOLD Unicode version

Theorem infnninfOLD 7069
Description: Obsolete version of infnninf 7068 as of 10-Aug-2024. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infnninfOLD  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.

Proof of Theorem infnninfOLD
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2o 6390 . . . 4  |-  1o  e.  2o
21fconst6 5370 . . 3  |-  ( om 
X.  { 1o }
) : om --> 2o
3 2onn 6469 . . . . 5  |-  2o  e.  om
43elexi 2724 . . . 4  |-  2o  e.  _V
5 omex 4553 . . . 4  |-  om  e.  _V
64, 5elmap 6623 . . 3  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( om  X.  { 1o } ) : om --> 2o )
72, 6mpbir 145 . 2  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  ( 2o 
^m  om )
8 peano2 4555 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
9 1oex 6372 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
109fvconst2 5684 . . . . . 6  |-  ( suc  i  e.  om  ->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
118, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
129fvconst2 5684 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
)  =  1o )
1311, 12eqtr4d 2193 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
14 eqimss 3182 . . . 4  |-  ( ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
)  ->  ( ( om  X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
)
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
1615rgen 2510 . 2  |-  A. i  e.  om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
17 fveq1 5468 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i ) )
18 fveq1 5468 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
1917, 18sseq12d 3159 . . . 4  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
2019ralbidv 2457 . . 3  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( A. i  e. 
om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
21 df-nninf 7065 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
2220, 21elrab2 2871 . 2  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  <-> 
( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. i  e. 
om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
) )
237, 16, 22mpbir2an 927 1  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435    C_ wss 3102   {csn 3560   suc csuc 4326   omcom 4550    X. cxp 4585   -->wf 5167   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   1oc1o 6357   2oc2o 6358    ^m cmap 6594  ℕxnninf 7064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1o 6364  df-2o 6365  df-map 6596  df-nninf 7065
This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10341
  Copyright terms: Public domain W3C validator