ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnninfOLD Unicode version

Theorem infnninfOLD 7101
Description: Obsolete version of infnninf 7100 as of 10-Aug-2024. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infnninfOLD  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.

Proof of Theorem infnninfOLD
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2o 6421 . . . 4  |-  1o  e.  2o
21fconst6 5397 . . 3  |-  ( om 
X.  { 1o }
) : om --> 2o
3 2onn 6500 . . . . 5  |-  2o  e.  om
43elexi 2742 . . . 4  |-  2o  e.  _V
5 omex 4577 . . . 4  |-  om  e.  _V
64, 5elmap 6655 . . 3  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( om  X.  { 1o } ) : om --> 2o )
72, 6mpbir 145 . 2  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  ( 2o 
^m  om )
8 peano2 4579 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
9 1oex 6403 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
109fvconst2 5712 . . . . . 6  |-  ( suc  i  e.  om  ->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
118, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
129fvconst2 5712 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
)  =  1o )
1311, 12eqtr4d 2206 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
14 eqimss 3201 . . . 4  |-  ( ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
)  ->  ( ( om  X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
)
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
1615rgen 2523 . 2  |-  A. i  e.  om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
17 fveq1 5495 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i ) )
18 fveq1 5495 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
1917, 18sseq12d 3178 . . . 4  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
2019ralbidv 2470 . . 3  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( A. i  e. 
om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
21 df-nninf 7097 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
2220, 21elrab2 2889 . 2  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  <-> 
( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. i  e. 
om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
) )
237, 16, 22mpbir2an 937 1  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448    C_ wss 3121   {csn 3583   suc csuc 4350   omcom 4574    X. cxp 4609   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389    ^m cmap 6626  ℕxnninf 7096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097
This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10394
  Copyright terms: Public domain W3C validator