ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnninf Unicode version

Theorem infnninf 6934
Description: The point at infinity in ℕ (the constant sequence equal to  1o). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
infnninf  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.

Proof of Theorem infnninf
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6251 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
21sucid 4277 . . . . 5  |-  1o  e.  suc  1o
3 df-2o 6244 . . . . 5  |-  2o  =  suc  1o
42, 3eleqtrri 2175 . . . 4  |-  1o  e.  2o
54fconst6 5258 . . 3  |-  ( om 
X.  { 1o }
) : om --> 2o
6 2onn 6347 . . . . 5  |-  2o  e.  om
76elexi 2653 . . . 4  |-  2o  e.  _V
8 omex 4445 . . . 4  |-  om  e.  _V
97, 8elmap 6501 . . 3  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( om  X.  { 1o } ) : om --> 2o )
105, 9mpbir 145 . 2  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  ( 2o 
^m  om )
11 peano2 4447 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
121fvconst2 5568 . . . . . 6  |-  ( suc  i  e.  om  ->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
141fvconst2 5568 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
)  =  1o )
1513, 14eqtr4d 2135 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
16 eqimss 3101 . . . 4  |-  ( ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
)  ->  ( ( om  X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
)
1715, 16syl 14 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
1817rgen 2444 . 2  |-  A. i  e.  om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
19 fveq1 5352 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i ) )
20 fveq1 5352 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
2119, 20sseq12d 3078 . . . 4  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
2221ralbidv 2396 . . 3  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( A. i  e. 
om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
23 df-nninf 6919 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
2422, 23elrab2 2796 . 2  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  <-> 
( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. i  e. 
om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
) )
2510, 18, 24mpbir2an 894 1  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375    C_ wss 3021   {csn 3474   suc csuc 4225   omcom 4442    X. cxp 4475   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1oc1o 6236   2oc2o 6237    ^m cmap 6472  ℕxnninf 6917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-nninf 6919
This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10052  nninffeq  12800
  Copyright terms: Public domain W3C validator