ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnninf Unicode version

Theorem infnninf 7153
Description: The point at infinity in ℕ is the constant sequence equal to  1o. Note that with our encoding of functions, that constant function can also be expressed as  ( om  X.  { 1o } ), as fconstmpt 4691 shows. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) Use maps-to notation. (Revised by BJ, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
infnninf  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  e.

Proof of Theorem infnninf
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2o 6468 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  i  e. 
om )  ->  1o  e.  2o )
32fmpttd 5692 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( i  e.  om  |->  1o ) : om --> 2o )
43mptru 1373 . . 3  |-  ( i  e.  om  |->  1o ) : om --> 2o
5 2on 6451 . . . 4  |-  2o  e.  On
6 omex 4610 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 elmapg 6688 . . . 4  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  om  e.  _V )  -> 
( ( i  e. 
om  |->  1o )  e.  ( 2o  ^m  om ) 
<->  ( i  e.  om  |->  1o ) : om --> 2o ) )
85, 6, 7mp2an 426 . . 3  |-  ( ( i  e.  om  |->  1o )  e.  ( 2o 
^m  om )  <->  ( i  e.  om  |->  1o ) : om --> 2o )
94, 8mpbir 146 . 2  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  e.  ( 2o  ^m  om )
10 peano2 4612 . . . . . 6  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
11 eqidd 2190 . . . . . . 7  |-  ( i  =  suc  j  ->  1o  =  1o )
12 eqid 2189 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  =  ( i  e. 
om  |->  1o )
13 1oex 6450 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5614 . . . . . 6  |-  ( suc  j  e.  om  ->  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  =  1o )
1510, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( j  e.  om  ->  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  =  1o )
16 eqidd 2190 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  1o  =  1o )
1716, 12, 13fvmpt 5614 . . . . 5  |-  ( j  e.  om  ->  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  j )  =  1o )
1815, 17eqtr4d 2225 . . . 4  |-  ( j  e.  om  ->  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  j ) )
19 eqimss 3224 . . . 4  |-  ( ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  j )  ->  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  1o ) `  j ) )
2018, 19syl 14 . . 3  |-  ( j  e.  om  ->  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  C_  ( (
i  e.  om  |->  1o ) `  j ) )
2120rgen 2543 . 2  |-  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  1o ) `  j )
22 fveq1 5533 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  1o )  -> 
( f `  suc  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
) )
23 fveq1 5533 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  1o )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  j ) )
2422, 23sseq12d 3201 . . . 4  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  1o )  -> 
( ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  C_  ( (
i  e.  om  |->  1o ) `  j ) ) )
2524ralbidv 2490 . . 3  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  1o )  -> 
( A. j  e. 
om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  C_  ( (
i  e.  om  |->  1o ) `  j ) ) )
26 df-nninf 7150 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
2725, 26elrab2 2911 . 2  |-  ( ( i  e.  om  |->  1o )  e.  <-> 
( ( i  e. 
om  |->  1o )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e. 
om  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  1o ) `  j ) ) )
289, 21, 27mpbir2an 944 1  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752    C_ wss 3144    |-> cmpt 4079   Oncon0 4381   suc csuc 4383   omcom 4607   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   1oc1o 6435   2oc2o 6436    ^m cmap 6675  ℕxnninf 7149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1o 6442  df-2o 6443  df-map 6677  df-nninf 7150
This theorem is referenced by:  nnnninf2  7156  nninfwlpoimlemdc  7206  nninffeq  15248
  Copyright terms: Public domain W3C validator