Theorem infnninf 7241

Description: The point at infinity in ℕ_∞ is the constant sequence equal to 1o. Note that with our encoding of functions, that constant function can also be expressed as ( om X. { 1o } ), as fconstmpt 4730 shows. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) Use maps-to notation. (Revised by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6541	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( T. /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
3	2	fmpttd 5748	. . . 4 |- ( T. -> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
4	3	mptru 1382	. . 3 |- ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o
5		2on 6524	. . . 4 |- 2o e. On
6		omex 4649	. . . 4 |- om e. _V
7		elmapg 6761	. . . 4 |- ( ( 2o e. On /\ om e. _V ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . 3 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
9	4, 8	mpbir 146	. 2 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om )
10		peano2 4651	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
11		eqidd 2207	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> 1o = 1o )
12		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
13		1oex 6523	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 5669	. . . . . 6 |- ( suc j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
15	10, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
16		eqidd 2207	. . . . . 6 |- ( i = j -> 1o = 1o )
17	16, 12, 13	fvmpt 5669	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
18	15, 17	eqtr4d 2242	. . . 4 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
19		eqimss 3251	. . . 4 |- ( ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
21	20	rgen 2560	. 2 |- A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j )
22		fveq1 5588	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) )
23		fveq1 5588	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
24	22, 23	sseq12d 3228	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
25	24	ralbidv 2507	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
26		df-nninf 7237	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
27	25, 26	elrab2 2936	. 2 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
28	9, 21, 27	mpbir2an 945	1 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   C_ wss 3170   |-> cmpt 4113   Oncon0 4418   suc csuc 4420   omcom 4646   -->wf 5276   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   1oc1o 6508   2oc2o 6509   ^m cmap 6748  ℕ_∞xnninf 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1o 6515  df-2o 6516  df-map 6750  df-nninf 7237

This theorem is referenced by:  nnnninf2  7244  nninfwlpoimlemdc  7294  nninfct  12437  nninffeq  16098  nnnninfen  16099