Theorem infnninf 7015

Description: The point at infinity in ℕ_∞ (the constant sequence equal to 1o). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6314	. . . . . 6 |- 1o e. _V
2	1	sucid 4334	. . . . 5 |- 1o e. suc 1o
3		df-2o 6307	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	eleqtrri 2213	. . . 4 |- 1o e. 2o
5	4	fconst6 5317	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) : om --> 2o
6		2onn 6410	. . . . 5 |- 2o e. om
7	6	elexi 2693	. . . 4 |- 2o e. _V
8		omex 4502	. . . 4 |- om e. _V
9	7, 8	elmap 6564	. . 3 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { 1o } ) : om --> 2o )
10	5, 9	mpbir 145	. 2 |- ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om )
11		peano2 4504	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
12	1	fvconst2 5629	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
14	1	fvconst2 5629	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` i ) = 1o )
15	13, 14	eqtr4d 2173	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
16		eqimss 3146	. . . 4 |- ( ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
18	17	rgen 2483	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i )
19		fveq1 5413	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) )
20		fveq1 5413	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
21	19, 20	sseq12d 3123	. . . 4 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
22	21	ralbidv 2435	. . 3 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
23		df-nninf 7000	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
24	22, 23	elrab2 2838	. 2 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
25	10, 18, 24	mpbir2an 926	1 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   C_ wss 3066   {csn 3522   suc csuc 4282   omcom 4499   X. cxp 4532   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   1oc1o 6299   2oc2o 6300   ^m cmap 6535  ℕ_∞xnninf 6998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1o 6306  df-2o 6307  df-map 6537  df-nninf 7000

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10204  nninffeq  13205