Theorem infnninf 7124

Description: The point at infinity in ℕ_∞ is the constant sequence equal to 1o. Note that with our encoding of functions, that constant function can also be expressed as ( om X. { 1o } ), as fconstmpt 4675 shows. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) Use maps-to notation. (Revised by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6445	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( T. /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
3	2	fmpttd 5673	. . . 4 |- ( T. -> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
4	3	mptru 1362	. . 3 |- ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o
5		2on 6428	. . . 4 |- 2o e. On
6		omex 4594	. . . 4 |- om e. _V
7		elmapg 6663	. . . 4 |- ( ( 2o e. On /\ om e. _V ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . 3 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
9	4, 8	mpbir 146	. 2 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om )
10		peano2 4596	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
11		eqidd 2178	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> 1o = 1o )
12		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
13		1oex 6427	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 5595	. . . . . 6 |- ( suc j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
15	10, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
16		eqidd 2178	. . . . . 6 |- ( i = j -> 1o = 1o )
17	16, 12, 13	fvmpt 5595	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
18	15, 17	eqtr4d 2213	. . . 4 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
19		eqimss 3211	. . . 4 |- ( ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
21	20	rgen 2530	. 2 |- A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j )
22		fveq1 5516	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) )
23		fveq1 5516	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
24	22, 23	sseq12d 3188	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
25	24	ralbidv 2477	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
26		df-nninf 7121	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
27	25, 26	elrab2 2898	. 2 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
28	9, 21, 27	mpbir2an 942	1 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   |-> cmpt 4066   Oncon0 4365   suc csuc 4367   omcom 4591   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   2oc2o 6413   ^m cmap 6650  ℕ_∞xnninf 7120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-nninf 7121

This theorem is referenced by:  nnnninf2  7127  nninfwlpoimlemdc  7177  nninffeq  14854