Theorem infnninf 7464

Description: The point at infinity in ℕ_∞ is the constant sequence equal to 1o. Note that with our encoding of functions, that constant function can also be expressed as ( om X. { 1o } ), as fconstmpt 4822 shows. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) Use maps-to notation. (Revised by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6715	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( T. /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
3	2	fmpttd 5863	. . . 4 |- ( T. -> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
4	3	mptru 1411	. . 3 |- ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o
5		2on 6696	. . . 4 |- 2o e. On
6		omex 4740	. . . 4 |- om e. _V
7		elmapg 6935	. . . 4 |- ( ( 2o e. On /\ om e. _V ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2an 430	. . 3 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
9	4, 8	mpbir 146	. 2 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om )
10		peano2 4742	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
11		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> 1o = 1o )
12		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
13		1oex 6695	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 5782	. . . . . 6 |- ( suc j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
15	10, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
16		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( i = j -> 1o = 1o )
17	16, 12, 13	fvmpt 5782	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
18	15, 17	eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
19		eqimss 3302	. . . 4 |- ( ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
21	20	rgen 2603	. 2 |- A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j )
22		fveq1 5694	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) )
23		fveq1 5694	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
24	22, 23	sseq12d 3279	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
25	24	ralbidv 2550	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
26		df-nninf 7460	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
27	25, 26	elrab2 2985	. 2 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
28	9, 21, 27	mpbir2an 955	1 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   |-> cmpt 4192   Oncon0 4508   suc csuc 4510   omcom 4737   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1oc1o 6680   2oc2o 6681   ^m cmap 6922  ℕ_∞xnninf 7459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1o 6687  df-2o 6688  df-map 6924  df-nninf 7460

This theorem is used by:  nnnninf2  7467  nninfwlpoimlemdc  7517  nninfct  12818  nninffeq  17063  nnnninfen  17064