ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnninf Unicode version

Theorem infnninf 7121
Description: The point at infinity in ℕ is the constant sequence equal to  1o. Note that with our encoding of functions, that constant function can also be expressed as  ( om  X.  { 1o } ), as fconstmpt 4673 shows. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) Use maps-to notation. (Revised by BJ, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
infnninf  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  e.

Proof of Theorem infnninf
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2o 6442 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  i  e. 
om )  ->  1o  e.  2o )
32fmpttd 5671 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( i  e.  om  |->  1o ) : om --> 2o )
43mptru 1362 . . 3  |-  ( i  e.  om  |->  1o ) : om --> 2o
5 2on 6425 . . . 4  |-  2o  e.  On
6 omex 4592 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 elmapg 6660 . . . 4  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  om  e.  _V )  -> 
( ( i  e. 
om  |->  1o )  e.  ( 2o  ^m  om ) 
<->  ( i  e.  om  |->  1o ) : om --> 2o ) )
85, 6, 7mp2an 426 . . 3  |-  ( ( i  e.  om  |->  1o )  e.  ( 2o 
^m  om )  <->  ( i  e.  om  |->  1o ) : om --> 2o )
94, 8mpbir 146 . 2  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  e.  ( 2o  ^m  om )
10 peano2 4594 . . . . . 6  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
11 eqidd 2178 . . . . . . 7  |-  ( i  =  suc  j  ->  1o  =  1o )
12 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  =  ( i  e. 
om  |->  1o )
13 1oex 6424 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5593 . . . . . 6  |-  ( suc  j  e.  om  ->  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  =  1o )
1510, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( j  e.  om  ->  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  =  1o )
16 eqidd 2178 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  1o  =  1o )
1716, 12, 13fvmpt 5593 . . . . 5  |-  ( j  e.  om  ->  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  j )  =  1o )
1815, 17eqtr4d 2213 . . . 4  |-  ( j  e.  om  ->  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  j ) )
19 eqimss 3209 . . . 4  |-  ( ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  j )  ->  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  1o ) `  j ) )
2018, 19syl 14 . . 3  |-  ( j  e.  om  ->  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  C_  ( (
i  e.  om  |->  1o ) `  j ) )
2120rgen 2530 . 2  |-  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  1o ) `  j )
22 fveq1 5514 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  1o )  -> 
( f `  suc  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
) )
23 fveq1 5514 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  1o )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  j ) )
2422, 23sseq12d 3186 . . . 4  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  1o )  -> 
( ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  C_  ( (
i  e.  om  |->  1o ) `  j ) ) )
2524ralbidv 2477 . . 3  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  1o )  -> 
( A. j  e. 
om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( i  e.  om  |->  1o ) `  suc  j
)  C_  ( (
i  e.  om  |->  1o ) `  j ) ) )
26 df-nninf 7118 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
2725, 26elrab2 2896 . 2  |-  ( ( i  e.  om  |->  1o )  e.  <-> 
( ( i  e. 
om  |->  1o )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e. 
om  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  1o ) `  j ) ) )
289, 21, 27mpbir2an 942 1  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   T. wtru 1354    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737    C_ wss 3129    |-> cmpt 4064   Oncon0 4363   suc csuc 4365   omcom 4589   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   1oc1o 6409   2oc2o 6410    ^m cmap 6647  ℕxnninf 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1o 6416  df-2o 6417  df-map 6649  df-nninf 7118
This theorem is referenced by:  nnnninf2  7124  nninfwlpoimlemdc  7174  nninffeq  14651
  Copyright terms: Public domain W3C validator