Theorem infnninf 7366

Description: The point at infinity in ℕ_∞ is the constant sequence equal to 1o. Note that with our encoding of functions, that constant function can also be expressed as ( om X. { 1o } ), as fconstmpt 4779 shows. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) Use maps-to notation. (Revised by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6653	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( T. /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
3	2	fmpttd 5810	. . . 4 |- ( T. -> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
4	3	mptru 1407	. . 3 |- ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o
5		2on 6634	. . . 4 |- 2o e. On
6		omex 4697	. . . 4 |- om e. _V
7		elmapg 6873	. . . 4 |- ( ( 2o e. On /\ om e. _V ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . 3 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
9	4, 8	mpbir 146	. 2 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om )
10		peano2 4699	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
11		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> 1o = 1o )
12		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
13		1oex 6633	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 5732	. . . . . 6 |- ( suc j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
15	10, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
16		eqidd 2232	. . . . . 6 |- ( i = j -> 1o = 1o )
17	16, 12, 13	fvmpt 5732	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
18	15, 17	eqtr4d 2267	. . . 4 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
19		eqimss 3282	. . . 4 |- ( ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
21	20	rgen 2586	. 2 |- A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j )
22		fveq1 5647	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) )
23		fveq1 5647	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
24	22, 23	sseq12d 3259	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
25	24	ralbidv 2533	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
26		df-nninf 7362	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
27	25, 26	elrab2 2966	. 2 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
28	9, 21, 27	mpbir2an 951	1 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   |-> cmpt 4155   Oncon0 4466   suc csuc 4468   omcom 4694   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ^m cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7362

This theorem is referenced by:  nnnninf2  7369  nninfwlpoimlemdc  7419  nninfct  12675  nninffeq  16729  nnnninfen  16730