Theorem infnninf 6749

Description: The point at infinity in ℕ_∞ (the constant sequence equal to 1o). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6143	. . . . . 6 |- 1o e. _V
2	1	sucid 4218	. . . . 5 |- 1o e. suc 1o
3		df-2o 6136	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	eleqtrri 2160	. . . 4 |- 1o e. 2o
5	4	fconst6 5173	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) : om --> 2o
6		2onn 6232	. . . . 5 |- 2o e. om
7	6	elexi 2625	. . . 4 |- 2o e. _V
8		omex 4381	. . . 4 |- om e. _V
9	7, 8	elmap 6386	. . 3 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { 1o } ) : om --> 2o )
10	5, 9	mpbir 144	. 2 |- ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om )
11		peano2 4383	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
12	1	fvconst2 5474	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
14	1	fvconst2 5474	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` i ) = 1o )
15	13, 14	eqtr4d 2120	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
16		eqimss 3067	. . . 4 |- ( ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
18	17	rgen 2424	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i )
19		fveq1 5267	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) )
20		fveq1 5267	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
21	19, 20	sseq12d 3044	. . . 4 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
22	21	ralbidv 2376	. . 3 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
23		df-nninf 6735	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
24	22, 23	elrab2 2765	. 2 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
25	10, 18, 24	mpbir2an 886	1 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1287   e. wcel 1436   A.wral 2355   C_ wss 2988   {csn 3431   suc csuc 4166   omcom 4378   X. cxp 4409   -->wf 4977   ` cfv 4981  (class class class)co 5613   1oc1o 6128   2oc2o 6129   ^m cmap 6357  ℕ_∞xnninf 6733

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1o 6135  df-2o 6136  df-map 6359  df-nninf 6735

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  9772