Theorem infnninf 6934

Description: The point at infinity in ℕ_∞ (the constant sequence equal to 1o). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6251	. . . . . 6 |- 1o e. _V
2	1	sucid 4277	. . . . 5 |- 1o e. suc 1o
3		df-2o 6244	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	eleqtrri 2175	. . . 4 |- 1o e. 2o
5	4	fconst6 5258	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) : om --> 2o
6		2onn 6347	. . . . 5 |- 2o e. om
7	6	elexi 2653	. . . 4 |- 2o e. _V
8		omex 4445	. . . 4 |- om e. _V
9	7, 8	elmap 6501	. . 3 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { 1o } ) : om --> 2o )
10	5, 9	mpbir 145	. 2 |- ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om )
11		peano2 4447	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
12	1	fvconst2 5568	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
14	1	fvconst2 5568	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` i ) = 1o )
15	13, 14	eqtr4d 2135	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
16		eqimss 3101	. . . 4 |- ( ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
18	17	rgen 2444	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i )
19		fveq1 5352	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) )
20		fveq1 5352	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
21	19, 20	sseq12d 3078	. . . 4 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
22	21	ralbidv 2396	. . 3 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
23		df-nninf 6919	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
24	22, 23	elrab2 2796	. 2 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
25	10, 18, 24	mpbir2an 894	1 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   C_ wss 3021   {csn 3474   suc csuc 4225   omcom 4442   X. cxp 4475   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1oc1o 6236   2oc2o 6237   ^m cmap 6472  ℕ_∞xnninf 6917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-nninf 6919

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10052  nninffeq  12800