ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnninf Unicode version

Theorem infnninf 6749
Description: The point at infinity in ℕ (the constant sequence equal to  1o). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
infnninf  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.

Proof of Theorem infnninf
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6143 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
21sucid 4218 . . . . 5  |-  1o  e.  suc  1o
3 df-2o 6136 . . . . 5  |-  2o  =  suc  1o
42, 3eleqtrri 2160 . . . 4  |-  1o  e.  2o
54fconst6 5173 . . 3  |-  ( om 
X.  { 1o }
) : om --> 2o
6 2onn 6232 . . . . 5  |-  2o  e.  om
76elexi 2625 . . . 4  |-  2o  e.  _V
8 omex 4381 . . . 4  |-  om  e.  _V
97, 8elmap 6386 . . 3  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( om  X.  { 1o } ) : om --> 2o )
105, 9mpbir 144 . 2  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  ( 2o 
^m  om )
11 peano2 4383 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
121fvconst2 5474 . . . . . 6  |-  ( suc  i  e.  om  ->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  1o )
141fvconst2 5474 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
)  =  1o )
1513, 14eqtr4d 2120 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
16 eqimss 3067 . . . 4  |-  ( ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
)  ->  ( ( om  X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
)
1715, 16syl 14 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
1817rgen 2424 . 2  |-  A. i  e.  om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
19 fveq1 5267 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i ) )
20 fveq1 5267 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( om  X.  { 1o } ) `  i
) )
2119, 20sseq12d 3044 . . . 4  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( ( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
2221ralbidv 2376 . . 3  |-  ( f  =  ( om  X.  { 1o } )  -> 
( A. i  e. 
om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  (
( om  X.  { 1o } ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { 1o } ) `  i
) ) )
23 df-nninf 6735 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
2422, 23elrab2 2765 . 2  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  <-> 
( ( om  X.  { 1o } )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. i  e. 
om  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  suc  i ) 
C_  ( ( om 
X.  { 1o }
) `  i )
) )
2510, 18, 24mpbir2an 886 1  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355    C_ wss 2988   {csn 3431   suc csuc 4166   omcom 4378    X. cxp 4409   -->wf 4977   ` cfv 4981  (class class class)co 5613   1oc1o 6128   2oc2o 6129    ^m cmap 6357  ℕxnninf 6733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1o 6135  df-2o 6136  df-map 6359  df-nninf 6735
This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  9772
  Copyright terms: Public domain W3C validator