Theorem infnninf 7208

Description: The point at infinity in ℕ_∞ is the constant sequence equal to 1o. Note that with our encoding of functions, that constant function can also be expressed as ( om X. { 1o } ), as fconstmpt 4720 shows. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.) Use maps-to notation. (Revised by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6518	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( T. /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
3	2	fmpttd 5729	. . . 4 |- ( T. -> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
4	3	mptru 1381	. . 3 |- ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o
5		2on 6501	. . . 4 |- 2o e. On
6		omex 4639	. . . 4 |- om e. _V
7		elmapg 6738	. . . 4 |- ( ( 2o e. On /\ om e. _V ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . 3 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> 1o ) : om --> 2o )
9	4, 8	mpbir 146	. 2 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om )
10		peano2 4641	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
11		eqidd 2205	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> 1o = 1o )
12		eqid 2204	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
13		1oex 6500	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 5650	. . . . . 6 |- ( suc j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
15	10, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = 1o )
16		eqidd 2205	. . . . . 6 |- ( i = j -> 1o = 1o )
17	16, 12, 13	fvmpt 5650	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
18	15, 17	eqtr4d 2240	. . . 4 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
19		eqimss 3246	. . . 4 |- ( ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
21	20	rgen 2558	. 2 |- A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j )
22		fveq1 5569	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) )
23		fveq1 5569	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
24	22, 23	sseq12d 3223	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
25	24	ralbidv 2505	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> 1o ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
26		df-nninf 7204	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
27	25, 26	elrab2 2931	. 2 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> 1o ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> 1o ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
28	9, 21, 27	mpbir2an 944	1 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   T. wtru 1373   e. wcel 2175   A.wral 2483   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   |-> cmpt 4104   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4636   -->wf 5264   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   1oc1o 6485   2oc2o 6486   ^m cmap 6725  ℕ_∞xnninf 7203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1o 6492  df-2o 6493  df-map 6727  df-nninf 7204

This theorem is referenced by:  nnnninf2  7211  nninfwlpoimlemdc  7261  nninfct  12281  nninffeq  15821  nnnninfen  15822