Theorem intirr 4933

Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intirr	|- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x -. x R x )

Distinct variable group:   x, R

Proof of Theorem intirr

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3273	. . . 4 |- ( R i^i _I ) = ( _I i^i R )
2	1	eqeq1i 2148	. . 3 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> ( _I i^i R ) = (/) )
3		disj2 3423	. . 3 |- ( ( _I i^i R ) = (/) <-> _I C_ ( _V \ R ) )
4		reli 4676	. . . 4 |- Rel _I
5		ssrel 4635	. . . 4 |- ( Rel _I -> ( _I C_ ( _V \ R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( _I C_ ( _V \ R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
7	2, 3, 6	3bitri 205	. 2 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
8		equcom 1683	. . . . 5 |- ( y = x <-> x = y )
9		vex 2692	. . . . . 6 |- y e. _V
10	9	ideq 4699	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
11		df-br 3938	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
12	8, 10, 11	3bitr2i 207	. . . 4 |- ( y = x <-> <. x , y >. e. _I )
13		vex 2692	. . . . . . . 8 |- x e. _V
14	13, 9	opex 4159	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
15	14	biantrur 301	. . . . . 6 |- ( -. <. x , y >. e. R <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. R ) )
16		eldif 3085	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ R ) <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. R ) )
17	15, 16	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( -. <. x , y >. e. R <-> <. x , y >. e. ( _V \ R ) )
18		df-br 3938	. . . . 5 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
19	17, 18	xchnxbir 671	. . . 4 |- ( -. x R y <-> <. x , y >. e. ( _V \ R ) )
20	12, 19	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( y = x -> -. x R y ) <-> ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
21	20	2albii 1448	. 2 |- ( A. x A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
22		nfv 1509	. . . 4 |- F/ y -. x R x
23		breq2 3941	. . . . 5 |- ( y = x -> ( x R y <-> x R x ) )
24	23	notbid 657	. . . 4 |- ( y = x -> ( -. x R y <-> -. x R x ) )
25	22, 24	equsal 1706	. . 3 |- ( A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> -. x R x )
26	25	albii 1447	. 2 |- ( A. x A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> A. x -. x R x )
27	7, 21, 26	3bitr2i 207	1 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x -. x R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   <.cop 3535   class class class wbr 3937   _I cid 4218   Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554

This theorem is referenced by: (None)