Theorem intirr 4990

Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intirr	|- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x -. x R x )

Distinct variable group:   x, R

Proof of Theorem intirr

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3314	. . . 4 |- ( R i^i _I ) = ( _I i^i R )
2	1	eqeq1i 2173	. . 3 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> ( _I i^i R ) = (/) )
3		disj2 3464	. . 3 |- ( ( _I i^i R ) = (/) <-> _I C_ ( _V \ R ) )
4		reli 4733	. . . 4 |- Rel _I
5		ssrel 4692	. . . 4 |- ( Rel _I -> ( _I C_ ( _V \ R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( _I C_ ( _V \ R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
7	2, 3, 6	3bitri 205	. 2 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
8		equcom 1694	. . . . 5 |- ( y = x <-> x = y )
9		vex 2729	. . . . . 6 |- y e. _V
10	9	ideq 4756	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
11		df-br 3983	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
12	8, 10, 11	3bitr2i 207	. . . 4 |- ( y = x <-> <. x , y >. e. _I )
13		vex 2729	. . . . . . . 8 |- x e. _V
14	13, 9	opex 4207	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
15	14	biantrur 301	. . . . . 6 |- ( -. <. x , y >. e. R <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. R ) )
16		eldif 3125	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ R ) <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. R ) )
17	15, 16	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( -. <. x , y >. e. R <-> <. x , y >. e. ( _V \ R ) )
18		df-br 3983	. . . . 5 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
19	17, 18	xchnxbir 671	. . . 4 |- ( -. x R y <-> <. x , y >. e. ( _V \ R ) )
20	12, 19	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( y = x -> -. x R y ) <-> ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
21	20	2albii 1459	. 2 |- ( A. x A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
22		nfv 1516	. . . 4 |- F/ y -. x R x
23		breq2 3986	. . . . 5 |- ( y = x -> ( x R y <-> x R x ) )
24	23	notbid 657	. . . 4 |- ( y = x -> ( -. x R y <-> -. x R x ) )
25	22, 24	equsal 1715	. . 3 |- ( A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> -. x R x )
26	25	albii 1458	. 2 |- ( A. x A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> A. x -. x R x )
27	7, 21, 26	3bitr2i 207	1 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x -. x R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   <.cop 3579   class class class wbr 3982   _I cid 4266   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611

This theorem is referenced by: (None)