Theorem intirr 4997

Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intirr	|- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x -. x R x )

Distinct variable group:   x, R

Proof of Theorem intirr

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3319	. . . 4 |- ( R i^i _I ) = ( _I i^i R )
2	1	eqeq1i 2178	. . 3 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> ( _I i^i R ) = (/) )
3		disj2 3470	. . 3 |- ( ( _I i^i R ) = (/) <-> _I C_ ( _V \ R ) )
4		reli 4740	. . . 4 |- Rel _I
5		ssrel 4699	. . . 4 |- ( Rel _I -> ( _I C_ ( _V \ R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( _I C_ ( _V \ R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
7	2, 3, 6	3bitri 205	. 2 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
8		equcom 1699	. . . . 5 |- ( y = x <-> x = y )
9		vex 2733	. . . . . 6 |- y e. _V
10	9	ideq 4763	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
11		df-br 3990	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
12	8, 10, 11	3bitr2i 207	. . . 4 |- ( y = x <-> <. x , y >. e. _I )
13		vex 2733	. . . . . . . 8 |- x e. _V
14	13, 9	opex 4214	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
15	14	biantrur 301	. . . . . 6 |- ( -. <. x , y >. e. R <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. R ) )
16		eldif 3130	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ R ) <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. R ) )
17	15, 16	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( -. <. x , y >. e. R <-> <. x , y >. e. ( _V \ R ) )
18		df-br 3990	. . . . 5 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
19	17, 18	xchnxbir 676	. . . 4 |- ( -. x R y <-> <. x , y >. e. ( _V \ R ) )
20	12, 19	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( y = x -> -. x R y ) <-> ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
21	20	2albii 1464	. 2 |- ( A. x A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
22		nfv 1521	. . . 4 |- F/ y -. x R x
23		breq2 3993	. . . . 5 |- ( y = x -> ( x R y <-> x R x ) )
24	23	notbid 662	. . . 4 |- ( y = x -> ( -. x R y <-> -. x R x ) )
25	22, 24	equsal 1720	. . 3 |- ( A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> -. x R x )
26	25	albii 1463	. 2 |- ( A. x A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> A. x -. x R x )
27	7, 21, 26	3bitr2i 207	1 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x -. x R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   <.cop 3586   class class class wbr 3989   _I cid 4273   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618

This theorem is referenced by: (None)