ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intirr Unicode version

Theorem intirr 4995
Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intirr  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Distinct variable group:    x, R

Proof of Theorem intirr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3319 . . . 4  |-  ( R  i^i  _I  )  =  (  _I  i^i  R
)
21eqeq1i 2178 . . 3  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  (  _I  i^i  R )  =  (/) )
3 disj2 3469 . . 3  |-  ( (  _I  i^i  R )  =  (/)  <->  _I  C_  ( _V 
\  R ) )
4 reli 4738 . . . 4  |-  Rel  _I
5 ssrel 4697 . . . 4  |-  ( Rel 
_I  ->  (  _I  C_  ( _V  \  R )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  (  _I  C_  ( _V  \  R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
72, 3, 63bitri 205 . 2  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
8 equcom 1699 . . . . 5  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
9 vex 2733 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
109ideq 4761 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
11 df-br 3988 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
128, 10, 113bitr2i 207 . . . 4  |-  ( y  =  x  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
13 vex 2733 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
1413, 9opex 4212 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1514biantrur 301 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
16 eldif 3130 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
1715, 16bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( _V  \  R ) )
18 df-br 3988 . . . . 5  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
1917, 18xchnxbir 676 . . . 4  |-  ( -.  x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) )
2012, 19imbi12i 238 . . 3  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
21202albii 1464 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  _I  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
) ) )
22 nfv 1521 . . . 4  |-  F/ y  -.  x R x
23 breq2 3991 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
2423notbid 662 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R x ) )
2522, 24equsal 1720 . . 3  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  -.  x R x )
2625albii 1463 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x  -.  x R x )
277, 21, 263bitr2i 207 1  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730    \ cdif 3118    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   <.cop 3584   class class class wbr 3987    _I cid 4271   Rel wrel 4614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator