ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intirr Unicode version

Theorem intirr 5030
Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intirr  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Distinct variable group:    x, R

Proof of Theorem intirr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3342 . . . 4  |-  ( R  i^i  _I  )  =  (  _I  i^i  R
)
21eqeq1i 2197 . . 3  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  (  _I  i^i  R )  =  (/) )
3 disj2 3493 . . 3  |-  ( (  _I  i^i  R )  =  (/)  <->  _I  C_  ( _V 
\  R ) )
4 reli 4771 . . . 4  |-  Rel  _I
5 ssrel 4729 . . . 4  |-  ( Rel 
_I  ->  (  _I  C_  ( _V  \  R )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  (  _I  C_  ( _V  \  R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
72, 3, 63bitri 206 . 2  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
8 equcom 1717 . . . . 5  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
9 vex 2755 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
109ideq 4794 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
11 df-br 4019 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
128, 10, 113bitr2i 208 . . . 4  |-  ( y  =  x  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
13 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
1413, 9opex 4244 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1514biantrur 303 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
16 eldif 3153 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
1715, 16bitr4i 187 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( _V  \  R ) )
18 df-br 4019 . . . . 5  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
1917, 18xchnxbir 682 . . . 4  |-  ( -.  x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) )
2012, 19imbi12i 239 . . 3  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
21202albii 1482 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  _I  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
) ) )
22 nfv 1539 . . . 4  |-  F/ y  -.  x R x
23 breq2 4022 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
2423notbid 668 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R x ) )
2522, 24equsal 1738 . . 3  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  -.  x R x )
2625albii 1481 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x  -.  x R x )
277, 21, 263bitr2i 208 1  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    \ cdif 3141    i^i cin 3143    C_ wss 3144   (/)c0 3437   <.cop 3610   class class class wbr 4018    _I cid 4303   Rel wrel 4646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator