Theorem intirr 5030

Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intirr	|- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x -. x R x )

Distinct variable group:   x, R

Proof of Theorem intirr

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3342	. . . 4 |- ( R i^i _I ) = ( _I i^i R )
2	1	eqeq1i 2197	. . 3 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> ( _I i^i R ) = (/) )
3		disj2 3493	. . 3 |- ( ( _I i^i R ) = (/) <-> _I C_ ( _V \ R ) )
4		reli 4771	. . . 4 |- Rel _I
5		ssrel 4729	. . . 4 |- ( Rel _I -> ( _I C_ ( _V \ R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( _I C_ ( _V \ R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
7	2, 3, 6	3bitri 206	. 2 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
8		equcom 1717	. . . . 5 |- ( y = x <-> x = y )
9		vex 2755	. . . . . 6 |- y e. _V
10	9	ideq 4794	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
11		df-br 4019	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
12	8, 10, 11	3bitr2i 208	. . . 4 |- ( y = x <-> <. x , y >. e. _I )
13		vex 2755	. . . . . . . 8 |- x e. _V
14	13, 9	opex 4244	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
15	14	biantrur 303	. . . . . 6 |- ( -. <. x , y >. e. R <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. R ) )
16		eldif 3153	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ R ) <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. R ) )
17	15, 16	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( -. <. x , y >. e. R <-> <. x , y >. e. ( _V \ R ) )
18		df-br 4019	. . . . 5 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
19	17, 18	xchnxbir 682	. . . 4 |- ( -. x R y <-> <. x , y >. e. ( _V \ R ) )
20	12, 19	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( y = x -> -. x R y ) <-> ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
21	20	2albii 1482	. 2 |- ( A. x A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ( _V \ R ) ) )
22		nfv 1539	. . . 4 |- F/ y -. x R x
23		breq2 4022	. . . . 5 |- ( y = x -> ( x R y <-> x R x ) )
24	23	notbid 668	. . . 4 |- ( y = x -> ( -. x R y <-> -. x R x ) )
25	22, 24	equsal 1738	. . 3 |- ( A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> -. x R x )
26	25	albii 1481	. 2 |- ( A. x A. y ( y = x -> -. x R y ) <-> A. x -. x R x )
27	7, 21, 26	3bitr2i 208	1 |- ( ( R i^i _I ) = (/) <-> A. x -. x R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   \ cdif 3141   i^i cin 3143   C_ wss 3144   (/)c0 3437   <.cop 3610   class class class wbr 4018   _I cid 4303   Rel wrel 4646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648

This theorem is referenced by: (None)