ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intirr Unicode version

Theorem intirr 4776
Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intirr  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Distinct variable group:    x, R

Proof of Theorem intirr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3178 . . . 4  |-  ( R  i^i  _I  )  =  (  _I  i^i  R
)
21eqeq1i 2092 . . 3  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  (  _I  i^i  R )  =  (/) )
3 disj2 3323 . . 3  |-  ( (  _I  i^i  R )  =  (/)  <->  _I  C_  ( _V 
\  R ) )
4 reli 4526 . . . 4  |-  Rel  _I
5 ssrel 4487 . . . 4  |-  ( Rel 
_I  ->  (  _I  C_  ( _V  \  R )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) ) )
64, 5ax-mp 7 . . 3  |-  (  _I  C_  ( _V  \  R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
72, 3, 63bitri 204 . 2  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
8 equcom 1637 . . . . 5  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
9 vex 2617 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
109ideq 4549 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
11 df-br 3815 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
128, 10, 113bitr2i 206 . . . 4  |-  ( y  =  x  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
13 vex 2617 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
1413, 9opex 4023 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1514biantrur 297 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
16 eldif 2995 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
1715, 16bitr4i 185 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( _V  \  R ) )
18 df-br 3815 . . . . 5  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
1917, 18xchnxbir 639 . . . 4  |-  ( -.  x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) )
2012, 19imbi12i 237 . . 3  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
21202albii 1403 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  _I  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
) ) )
22 nfv 1464 . . . 4  |-  F/ y  -.  x R x
23 breq2 3818 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
2423notbid 625 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R x ) )
2522, 24equsal 1659 . . 3  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  -.  x R x )
2625albii 1402 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x  -.  x R x )
277, 21, 263bitr2i 206 1  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1285    = wceq 1287    e. wcel 1436   _Vcvv 2614    \ cdif 2983    i^i cin 2985    C_ wss 2986   (/)c0 3272   <.cop 3428   class class class wbr 3814    _I cid 4082   Rel wrel 4409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator