Theorem subeq0 8245

Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
subeq0	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = 0 <-> A = B ) )

Proof of Theorem subeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid 8238	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( B - B ) = 0 )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - B ) = 0 )
3	2	eqeq2d 2205	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> ( A - B ) = 0 ) )
4		subcan2 8244	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> A = B ) )
5	4	3anidm23 1308	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> A = B ) )
6	3, 5	bitr3d 190	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = 0 <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   - cmin 8190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192

This theorem is referenced by:  subeq0i  8299  subeq0d  8338  subne0d  8339  subeq0ad  8340  cju  8980  fzocongeq  12000  cnmet  14698