Theorem subeq0 8214

Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
subeq0	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = 0 <-> A = B ) )

Proof of Theorem subeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid 8207	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( B - B ) = 0 )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - B ) = 0 )
3	2	eqeq2d 2201	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> ( A - B ) = 0 ) )
4		subcan2 8213	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> A = B ) )
5	4	3anidm23 1308	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> A = B ) )
6	3, 5	bitr3d 190	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = 0 <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5897   CCcc 7840   0cc0 7842   - cmin 8159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-sub 8161

This theorem is referenced by:  subeq0i  8268  subeq0d  8307  subne0d  8308  subeq0ad  8309  cju  8949  fzocongeq  11899  cnmet  14507