Theorem subeq0 7988

Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
subeq0	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = 0 <-> A = B ) )

Proof of Theorem subeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid 7981	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( B - B ) = 0 )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - B ) = 0 )
3	2	eqeq2d 2151	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> ( A - B ) = 0 ) )
4		subcan2 7987	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> A = B ) )
5	4	3anidm23 1275	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = ( B - B ) <-> A = B ) )
6	3, 5	bitr3d 189	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) = 0 <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   - cmin 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935

This theorem is referenced by:  subeq0i  8042  subeq0d  8081  subne0d  8082  subeq0ad  8083  cju  8719  fzocongeq  11556  cnmet  12699