Theorem subcan2 8310

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
subcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp3 1002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		subcl 8284	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
4	3	3adant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5		subadd2 8289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐴))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐴))
7		npcan 8294	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
8	7	3adant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
9	8	eqeq1d 2215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
10		eqcom 2208	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵))
12	6, 11	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5954  ℂcc 7936   + caddc 7941   − cmin 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-setind 4590  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-sub 8258

This theorem is referenced by:  subeq0  8311  subcan2i  8379  subcan2d  8438  subcan2ad  8441  zextlt  9478