ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zextlt Unicode version
Theorem zextlt 9318
Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextlt |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) ) -> M = N )
Distinct variable groups:   k, M   k, N
Proof of Theorem zextlt
StepHypRef Expression
1 zltlem1 9283 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k < M <-> k <_ ( M - 1 ) ) )
21adantrr 479 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( k < M <-> k <_ ( M - 1 ) ) )
3 zltlem1 9283 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k < N <-> k <_ ( N - 1 ) ) )
43adantrl 478 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( k < N <-> k <_ ( N - 1 ) ) )
52, 4bibi12d 235 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( k < M <-> k < N ) <-> ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
65ancoms 268 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k < M <-> k < N ) <-> ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
76ralbidva 2471 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) <-> A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
8 peano2zm 9264 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
9 peano2zm 9264 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
10 zextle 9317 . . . . . 6 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) )
11103expia 1205 . . . . 5 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) ) )
128, 9, 11syl2an 289 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) ) )
13 zcn 9231 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
14 zcn 9231 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
15 ax-1cn 7879 . . . . . 6 |- 1 e. CC
16 subcan2 8156 . . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1715, 16mp3an3 1326 . . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1813, 14, 17syl2an 289 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1912, 18sylibd 149 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> M = N ) )
207, 19sylbid 150 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) -> M = N ) )
21203impia 1200 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) ) -> M = N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   1c1 7787   < clt 7966   <_ cle 7967   - cmin 8102   ZZcz 9226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator