ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zextlt Unicode version

Theorem zextlt 9166
Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextlt  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <  M  <->  k  <  N ) )  ->  M  =  N )
Distinct variable groups:    k, M    k, N

Proof of Theorem zextlt
StepHypRef Expression
1 zltlem1 9134 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  <  M  <->  k  <_  ( M  - 
1 ) ) )
21adantrr 471 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( k  <  M  <->  k  <_  ( M  -  1 ) ) )
3 zltlem1 9134 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  <  N  <->  k  <_  ( N  - 
1 ) ) )
43adantrl 470 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( k  <  N  <->  k  <_  ( N  -  1 ) ) )
52, 4bibi12d 234 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  <  M  <->  k  <  N )  <->  ( k  <_ 
( M  -  1 )  <->  k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
65ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  <  M  <->  k  <  N )  <->  ( k  <_ 
( M  -  1 )  <->  k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
76ralbidva 2434 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( k  < 
M  <->  k  <  N
)  <->  A. k  e.  ZZ  ( k  <_  ( M  -  1 )  <-> 
k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
8 peano2zm 9115 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
9 peano2zm 9115 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
10 zextle 9165 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  ( M  -  1 )  <->  k  <_  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
11103expia 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( k  <_ 
( M  -  1 )  <->  k  <_  ( N  -  1 ) )  ->  ( M  -  1 )  =  ( N  -  1 ) ) )
128, 9, 11syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( k  <_ 
( M  -  1 )  <->  k  <_  ( N  -  1 ) )  ->  ( M  -  1 )  =  ( N  -  1 ) ) )
13 zcn 9082 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
14 zcn 9082 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
15 ax-1cn 7736 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
16 subcan2 8010 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( M  -  1 )  =  ( N  -  1 )  <->  M  =  N ) )
1715, 16mp3an3 1305 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  - 
1 )  =  ( N  -  1 )  <-> 
M  =  N ) )
1813, 14, 17syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  - 
1 )  =  ( N  -  1 )  <-> 
M  =  N ) )
1912, 18sylibd 148 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( k  <_ 
( M  -  1 )  <->  k  <_  ( N  -  1 ) )  ->  M  =  N ) )
207, 19sylbid 149 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( k  < 
M  <->  k  <  N
)  ->  M  =  N ) )
21203impia 1179 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <  M  <->  k  <  N ) )  ->  M  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   CCcc 7641   1c1 7644    < clt 7823    <_ cle 7824    - cmin 7956   ZZcz 9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator