ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zextlt Unicode version
Theorem zextlt 9738
Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextlt |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) ) -> M = N )
Distinct variable groups:   k, M   k, N
Proof of Theorem zextlt
StepHypRef Expression
1 zltlem1 9702 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k < M <-> k <_ ( M - 1 ) ) )
21adantrr 483 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( k < M <-> k <_ ( M - 1 ) ) )
3 zltlem1 9702 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k < N <-> k <_ ( N - 1 ) ) )
43adantrl 482 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( k < N <-> k <_ ( N - 1 ) ) )
52, 4bibi12d 235 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( k < M <-> k < N ) <-> ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
65ancoms 268 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k < M <-> k < N ) <-> ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
76ralbidva 2546 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) <-> A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
8 peano2zm 9682 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
9 peano2zm 9682 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
10 zextle 9737 . . . . . 6 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) )
11103expia 1236 . . . . 5 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) ) )
128, 9, 11syl2an 289 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) ) )
13 zcn 9649 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
14 zcn 9649 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
15 ax-1cn 8272 . . . . . 6 |- 1 e. CC
16 subcan2 8551 . . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1715, 16mp3an3 1367 . . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1813, 14, 17syl2an 289 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1912, 18sylibd 149 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> M = N ) )
207, 19sylbid 150 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) -> M = N ) )
21203impia 1231 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) ) -> M = N )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   ZZcz 9644
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator