ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zextlt Unicode version
Theorem zextlt 9274
Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextlt |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) ) -> M = N )
Distinct variable groups:   k, M   k, N
Proof of Theorem zextlt
StepHypRef Expression
1 zltlem1 9239 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k < M <-> k <_ ( M - 1 ) ) )
21adantrr 471 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( k < M <-> k <_ ( M - 1 ) ) )
3 zltlem1 9239 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k < N <-> k <_ ( N - 1 ) ) )
43adantrl 470 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( k < N <-> k <_ ( N - 1 ) ) )
52, 4bibi12d 234 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( k < M <-> k < N ) <-> ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
65ancoms 266 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k < M <-> k < N ) <-> ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
76ralbidva 2460 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) <-> A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
8 peano2zm 9220 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
9 peano2zm 9220 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
10 zextle 9273 . . . . . 6 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) )
11103expia 1194 . . . . 5 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) ) )
128, 9, 11syl2an 287 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) ) )
13 zcn 9187 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
14 zcn 9187 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
15 ax-1cn 7837 . . . . . 6 |- 1 e. CC
16 subcan2 8114 . . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1715, 16mp3an3 1315 . . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1813, 14, 17syl2an 287 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
1912, 18sylibd 148 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> M = N ) )
207, 19sylbid 149 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) -> M = N ) )
21203impia 1189 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) ) -> M = N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   CCcc 7742   1c1 7745   < clt 7924   <_ cle 7925   - cmin 8060   ZZcz 9182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator