Theorem zextlt 9688

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextlt	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) ) -> M = N )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem zextlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlem1 9652	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k < M <-> k <_ ( M - 1 ) ) )
2	1	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( k < M <-> k <_ ( M - 1 ) ) )
3		zltlem1 9652	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k < N <-> k <_ ( N - 1 ) ) )
4	3	adantrl 478	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( k < N <-> k <_ ( N - 1 ) ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( k < M <-> k < N ) <-> ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
6	5	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k < M <-> k < N ) <-> ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
7	6	ralbidva 2540	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) <-> A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) )
8		peano2zm 9632	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
9		peano2zm 9632	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
10		zextle 9687	. . . . . 6 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) )
11	10	3expia 1232	. . . . 5 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) ) )
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> ( M - 1 ) = ( N - 1 ) ) )
13		zcn 9599	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
14		zcn 9599	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
15		ax-1cn 8236	. . . . . 6 |- 1 e. CC
16		subcan2 8514	. . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
17	15, 16	mp3an3 1363	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
18	13, 14, 17	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) = ( N - 1 ) <-> M = N ) )
19	12, 18	sylibd 149	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ ( M - 1 ) <-> k <_ ( N - 1 ) ) -> M = N ) )
20	7, 19	sylbid 150	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) -> M = N ) )
21	20	3impia 1227	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k < M <-> k < N ) ) -> M = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   1c1 8144   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by: (None)