Theorem cju 8856

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	|- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cju

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7895	. . 3 |- ( A e. CC -> E. y e. RR E. z e. RR A = ( y + ( _i x. z ) ) )
2		recn 7886	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> y e. CC )
3		ax-icn 7848	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
4		recn 7886	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR -> z e. CC )
5		mulcl 7880	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ z e. CC ) -> ( _i x. z ) e. CC )
6	3, 4, 5	sylancr 411	. . . . . . 7 |- ( z e. RR -> ( _i x. z ) e. CC )
7		subcl 8097	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ ( _i x. z ) e. CC ) -> ( y - ( _i x. z ) ) e. CC )
8	2, 6, 7	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y - ( _i x. z ) ) e. CC )
9	2	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> y e. CC )
10	6	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. z ) e. CC )
11	9, 10, 9	ppncand 8249	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( y + y ) )
12		readdcl 7879	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ y e. RR ) -> ( y + y ) e. RR )
13	12	anidms 395	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + y ) e. RR )
14	13	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y + y ) e. RR )
15	11, 14	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR )
16	9, 10, 10	pnncand 8248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( ( _i x. z ) + ( _i x. z ) ) )
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> _i e. CC )
18	4	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> z e. CC )
19	17, 18, 18	adddid 7923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( z + z ) ) = ( ( _i x. z ) + ( _i x. z ) ) )
20	16, 19	eqtr4d 2201	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( _i x. ( z + z ) ) )
21	20	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
22	18, 18	addcld 7918	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( z + z ) e. CC )
23		mulass 7884	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( z + z ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
24	3, 3, 23	mp3an12 1317	. . . . . . . . 9 |- ( ( z + z ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
26	21, 25	eqtr4d 2201	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) )
27		ixi 8481	. . . . . . . . 9 |- ( _i x. _i ) = -u 1
28		1re 7898	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
29	28	renegcli 8160	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. RR
30	27, 29	eqeltri 2239	. . . . . . . 8 |- ( _i x. _i ) e. RR
31		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> z e. RR )
32	31, 31	readdcld 7928	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( z + z ) e. RR )
33		remulcl 7881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. _i ) e. RR /\ ( z + z ) e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) e. RR )
34	30, 32, 33	sylancr 411	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) e. RR )
35	26, 34	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR )
36		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) )
37	36	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR <-> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR ) )
38		oveq2 5850	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) )
39	38	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) = ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) )
40	39	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) )
41	37, 40	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) <-> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) ) )
42	41	rspcev 2830	. . . . . 6 |- ( ( ( y - ( _i x. z ) ) e. CC /\ ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) ) -> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1226	. . . . 5 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
44		oveq1 5849	. . . . . . . 8 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( A + x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) )
45	44	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR ) )
46		oveq1 5849	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( A - x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) )
47	46	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) )
48	47	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
49	45, 48	anbi12d 465	. . . . . 6 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) ) )
50	49	rexbidv 2467	. . . . 5 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) ) )
51	43, 50	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) )
52	51	rexlimivv 2589	. . 3 |- ( E. y e. RR E. z e. RR A = ( y + ( _i x. z ) ) -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
53	1, 52	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
54		an4 576	. . . 4 |- ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) <-> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) )
55		resubcl 8162	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) e. RR )
56		pnpcan 8137	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) = ( x - y ) )
57	56	3expb 1194	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) = ( x - y ) )
58	57	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( A + x ) - ( A + y ) ) e. RR <-> ( x - y ) e. RR ) )
59	55, 58	syl5ib 153	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) -> ( x - y ) e. RR ) )
60		resubcl 8162	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. ( A - y ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR )
61	60	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR )
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> _i e. CC )
63		subcl 8097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A - y ) e. CC )
64	63	adantrl 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( A - y ) e. CC )
65		subcl 8097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A - x ) e. CC )
66	65	adantrr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( A - x ) e. CC )
67	62, 64, 66	subdid 8312	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( _i x. ( ( A - y ) - ( A - x ) ) ) = ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) )
68		nnncan1 8134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
69	68	3com23 1199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
70	69	3expb 1194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
71	70	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( _i x. ( ( A - y ) - ( A - x ) ) ) = ( _i x. ( x - y ) ) )
72	67, 71	eqtr3d 2200	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) = ( _i x. ( x - y ) ) )
73	72	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR <-> ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) )
74	61, 73	syl5ib 153	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) -> ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) )
75	59, 74	anim12d 333	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) )
76		rimul 8483	. . . . . 6 |- ( ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) -> ( x - y ) = 0 )
77	76	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) -> ( x - y ) = 0 ) )
78		subeq0 8124	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
79	78	biimpd 143	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x - y ) = 0 -> x = y ) )
80	79	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( x - y ) = 0 -> x = y ) )
81	75, 77, 80	3syld 57	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
82	54, 81	syl5bi 151	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
83	82	ralrimivva 2548	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
84		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A + x ) = ( A + y ) )
85	84	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( A + y ) e. RR ) )
86		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A - x ) = ( A - y ) )
87	86	oveq2d 5858	. . . . 5 |- ( x = y -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( A - y ) ) )
88	87	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) )
89	85, 88	anbi12d 465	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) )
90	89	reu4 2920	. 2 |- ( E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) ) )
91	53, 83, 90	sylanbrc 414	1 |- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   E!wreu 2446  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   _ici 7755   + caddc 7756   x. cmul 7758   - cmin 8069   -ucneg 8070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473

This theorem is referenced by:  cjval  10787  cjth  10788  cjf  10789  remim  10802