Theorem cju 9069

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	|- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cju

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8103	. . 3 |- ( A e. CC -> E. y e. RR E. z e. RR A = ( y + ( _i x. z ) ) )
2		recn 8093	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> y e. CC )
3		ax-icn 8055	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
4		recn 8093	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR -> z e. CC )
5		mulcl 8087	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ z e. CC ) -> ( _i x. z ) e. CC )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( z e. RR -> ( _i x. z ) e. CC )
7		subcl 8306	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ ( _i x. z ) e. CC ) -> ( y - ( _i x. z ) ) e. CC )
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y - ( _i x. z ) ) e. CC )
9	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> y e. CC )
10	6	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. z ) e. CC )
11	9, 10, 9	ppncand 8458	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( y + y ) )
12		readdcl 8086	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ y e. RR ) -> ( y + y ) e. RR )
13	12	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + y ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y + y ) e. RR )
15	11, 14	eqeltrd 2284	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR )
16	9, 10, 10	pnncand 8457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( ( _i x. z ) + ( _i x. z ) ) )
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> _i e. CC )
18	4	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> z e. CC )
19	17, 18, 18	adddid 8132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( z + z ) ) = ( ( _i x. z ) + ( _i x. z ) ) )
20	16, 19	eqtr4d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( _i x. ( z + z ) ) )
21	20	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
22	18, 18	addcld 8127	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( z + z ) e. CC )
23		mulass 8091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( z + z ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
24	3, 3, 23	mp3an12 1340	. . . . . . . . 9 |- ( ( z + z ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
26	21, 25	eqtr4d 2243	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) )
27		ixi 8691	. . . . . . . . 9 |- ( _i x. _i ) = -u 1
28		1re 8106	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
29	28	renegcli 8369	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. RR
30	27, 29	eqeltri 2280	. . . . . . . 8 |- ( _i x. _i ) e. RR
31		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> z e. RR )
32	31, 31	readdcld 8137	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( z + z ) e. RR )
33		remulcl 8088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. _i ) e. RR /\ ( z + z ) e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) e. RR )
34	30, 32, 33	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) e. RR )
35	26, 34	eqeltrd 2284	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR )
36		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) )
37	36	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR <-> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR ) )
38		oveq2 5975	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) )
39	38	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) = ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) )
40	39	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) )
41	37, 40	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) <-> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) ) )
42	41	rspcev 2884	. . . . . 6 |- ( ( ( y - ( _i x. z ) ) e. CC /\ ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) ) -> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1248	. . . . 5 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
44		oveq1 5974	. . . . . . . 8 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( A + x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) )
45	44	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR ) )
46		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( A - x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) )
47	46	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) )
48	47	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
49	45, 48	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) ) )
50	49	rexbidv 2509	. . . . 5 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) ) )
51	43, 50	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) )
52	51	rexlimivv 2631	. . 3 |- ( E. y e. RR E. z e. RR A = ( y + ( _i x. z ) ) -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
53	1, 52	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
54		an4 586	. . . 4 |- ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) <-> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) )
55		resubcl 8371	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) e. RR )
56		pnpcan 8346	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) = ( x - y ) )
57	56	3expb 1207	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) = ( x - y ) )
58	57	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( A + x ) - ( A + y ) ) e. RR <-> ( x - y ) e. RR ) )
59	55, 58	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) -> ( x - y ) e. RR ) )
60		resubcl 8371	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. ( A - y ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR )
61	60	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR )
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> _i e. CC )
63		subcl 8306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A - y ) e. CC )
64	63	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( A - y ) e. CC )
65		subcl 8306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A - x ) e. CC )
66	65	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( A - x ) e. CC )
67	62, 64, 66	subdid 8521	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( _i x. ( ( A - y ) - ( A - x ) ) ) = ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) )
68		nnncan1 8343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
69	68	3com23 1212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
70	69	3expb 1207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
71	70	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( _i x. ( ( A - y ) - ( A - x ) ) ) = ( _i x. ( x - y ) ) )
72	67, 71	eqtr3d 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) = ( _i x. ( x - y ) ) )
73	72	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR <-> ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) )
74	61, 73	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) -> ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) )
75	59, 74	anim12d 335	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) )
76		rimul 8693	. . . . . 6 |- ( ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) -> ( x - y ) = 0 )
77	76	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) -> ( x - y ) = 0 ) )
78		subeq0 8333	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
79	78	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x - y ) = 0 -> x = y ) )
80	79	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( x - y ) = 0 -> x = y ) )
81	75, 77, 80	3syld 57	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
82	54, 81	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
83	82	ralrimivva 2590	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
84		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A + x ) = ( A + y ) )
85	84	eleq1d 2276	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( A + y ) e. RR ) )
86		oveq2 5975	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A - x ) = ( A - y ) )
87	86	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( x = y -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( A - y ) ) )
88	87	eleq1d 2276	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) )
89	85, 88	anbi12d 473	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) )
90	89	reu4 2974	. 2 |- ( E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) ) )
91	53, 83, 90	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   E!wreu 2488  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   _ici 7962   + caddc 7963   x. cmul 7965   - cmin 8278   -ucneg 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683

This theorem is referenced by:  cjval  11271  cjth  11272  cjf  11273  remim  11286