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Theorem cju 8679
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cju
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7726 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A  =  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) )
2 recn 7717 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
3 ax-icn 7679 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
4 recn 7717 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
5 mulcl 7711 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 408 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
7 subcl 7925 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( _i  x.  z
)  e.  CC )  ->  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  e.  CC )
82, 6, 7syl2an 285 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  -  (
_i  x.  z )
)  e.  CC )
92adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
106adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
119, 10, 9ppncand 8077 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( y  +  y ) )
12 readdcl 7710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  y )  e.  RR )
1312anidms 392 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  y )  e.  RR )
1413adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  +  y )  e.  RR )
1511, 14eqeltrd 2192 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) )  e.  RR )
169, 10, 10pnncand 8076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( ( _i  x.  z )  +  ( _i  x.  z ) ) )
173a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
184adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  CC )
1917, 18, 18adddid 7754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
z  +  z ) )  =  ( ( _i  x.  z )  +  ( _i  x.  z ) ) )
2016, 19eqtr4d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) )
2120oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
2218, 18addcld 7749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  +  z )  e.  CC )
23 mulass 7715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
z  +  z )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
243, 3, 23mp3an12 1288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  +  z )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
z  +  z ) ) ) )
2522, 24syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
2621, 25eqtr4d 2151 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( z  +  z ) ) )
27 ixi 8308 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 1re 7729 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2928renegcli 7988 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
3027, 29eqeltri 2188 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
31 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
3231, 31readdcld 7759 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  +  z )  e.  RR )
33 remulcl 7712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
z  +  z )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  e.  RR )
3430, 32, 33sylancr 408 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  e.  RR )
3526, 34eqeltrd 2192 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR )
36 oveq2 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) ) )
3736eleq1d 2184 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  x
)  e.  RR  <->  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z
) ) )  e.  RR ) )
38 oveq2 5748 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  (
_i  x.  z )
) ) )
3938oveq2d 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
_i  x.  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) ) ) )
4039eleq1d 2184 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) )
4137, 40anbi12d 462 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR )  <-> 
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4241rspcev 2761 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  -  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) )
438, 15, 35, 42syl12anc 1197 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) )
44 oveq1 5747 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x ) )
4544eleq1d 2184 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR ) )
46 oveq1 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )
4746oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) ) )
4847eleq1d 2184 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  x
) )  e.  RR ) )
4945, 48anbi12d 462 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) ) )
5049rexbidv 2413 . . . . 5  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) ) )
5143, 50syl5ibrcom 156 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) ) )
5251rexlimivv 2530 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )
531, 52syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )
54 an4 558 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  <->  ( (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) ) )
55 resubcl 7990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  ->  ( ( A  +  x )  -  ( A  +  y
) )  e.  RR )
56 pnpcan 7965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( A  +  x
)  -  ( A  +  y ) )  =  ( x  -  y ) )
57563expb 1165 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( ( A  +  x )  -  ( A  +  y ) )  =  ( x  -  y
) )
5857eleq1d 2184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( A  +  x
)  -  ( A  +  y ) )  e.  RR  <->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
5955, 58syl5ib 153 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
60 resubcl 7990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x )
) )  e.  RR )
6160ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x )
) )  e.  RR )
623a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  _i  e.  CC )
63 subcl 7925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  -  y
)  e.  CC )
6463adantrl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( A  -  y )  e.  CC )
65 subcl 7925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  -  x
)  e.  CC )
6665adantrr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( A  -  x )  e.  CC )
6762, 64, 66subdid 8140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( _i  x.  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x )
) )  =  ( ( _i  x.  ( A  -  y )
)  -  ( _i  x.  ( A  -  x ) ) ) )
68 nnncan1 7962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( A  -  y
)  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y ) )
69683com23 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( A  -  y
)  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y ) )
70693expb 1165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y
) )
7170oveq2d 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( _i  x.  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x )
) )  =  ( _i  x.  ( x  -  y ) ) )
7267, 71eqtr3d 2150 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
_i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x
) ) )  =  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )
7372eleq1d 2184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( _i  x.  ( A  -  y )
)  -  ( _i  x.  ( A  -  x ) ) )  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  RR ) )
7461, 73syl5ib 153 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  RR ) )
7559, 74anim12d 331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( A  +  y )  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( x  -  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) ) )
76 rimul 8310 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  =  0 )
7776a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( x  -  y
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  =  0 ) )
78 subeq0 7952 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  -  y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
7978biimpd 143 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  -  y )  =  0  ->  x  =  y ) )
8079adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
x  -  y )  =  0  ->  x  =  y ) )
8175, 77, 803syld 57 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( A  +  y )  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
8254, 81syl5bi 151 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
8382ralrimivva 2489 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
84 oveq2 5748 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  y ) )
8584eleq1d 2184 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  y )  e.  RR ) )
86 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  y ) )
8786oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  y )
) )
8887eleq1d 2184 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  y
) )  e.  RR ) )
8985, 88anbi12d 462 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR ) ) )
9089reu4 2849 . 2  |-  ( E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
) )
9153, 83, 90sylanbrc 411 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   E!wreu 2393  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585   _ici 7586    + caddc 7587    x. cmul 7589    - cmin 7897   -ucneg 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-ltxr 7769  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300
This theorem is referenced by:  cjval  10568  cjth  10569  cjf  10570  remim  10583
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