cju - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cju 9108

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
cju	$/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem cju Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8142	. . 3
2		recn 8132	. . . . . . 7
3		ax-icn 8094	. . . . . . . 8
4		recn 8132	. . . . . . . 8
5		mulcl 8126	. . . . . . . 8 $/\$
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . 7
7		subcl 8345	. . . . . . 7 $/\$
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . . . . 6 $/\$
9	2	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
10	6	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
11	9, 10, 9	ppncand 8497	. . . . . . 7 $/\$
12		readdcl 8125	. . . . . . . . 9 $/\$
13	12	anidms 397	. . . . . . . 8
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
15	11, 14	eqeltrd 2306	. . . . . 6 $/\$
16	9, 10, 10	pnncand 8496	. . . . . . . . . 10 $/\$
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
18	4	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
19	17, 18, 18	adddid 8171	. . . . . . . . . 10 $/\$
20	16, 19	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 $/\$
21	20	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 $/\$
22	18, 18	addcld 8166	. . . . . . . . 9 $/\$
23		mulass 8130	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	3, 3, 23	mp3an12 1361	. . . . . . . . 9
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
26	21, 25	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 $/\$
27		ixi 8730	. . . . . . . . 9
28		1re 8145	. . . . . . . . . 10
29	28	renegcli 8408	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeltri 2302	. . . . . . . 8
31		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
32	31, 31	readdcld 8176	. . . . . . . 8 $/\$
33		remulcl 8127	. . . . . . . 8 $/\$
34	30, 32, 33	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
35	26, 34	eqeltrd 2306	. . . . . 6 $/\$
36		oveq2 6009	. . . . . . . . 9
37	36	eleq1d 2298	. . . . . . . 8
38		oveq2 6009	. . . . . . . . . 10
39	38	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9
40	39	eleq1d 2298	. . . . . . . 8
41	37, 40	anbi12d 473	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
42	41	rspcev 2907	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1269	. . . . 5 $/\$ $/\$
44		oveq1 6008	. . . . . . . 8
45	44	eleq1d 2298	. . . . . . 7
46		oveq1 6008	. . . . . . . . 9
47	46	oveq2d 6017	. . . . . . . 8
48	47	eleq1d 2298	. . . . . . 7
49	45, 48	anbi12d 473	. . . . . 6 $/\$ $/\$
50	49	rexbidv 2531	. . . . 5 $/\$ $/\$
51	43, 50	syl5ibrcom 157	. . . 4 $/\$ $/\$
52	51	rexlimivv 2654	. . 3 $/\$
53	1, 52	syl 14	. 2 $/\$
54		an4 586	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		resubcl 8410	. . . . . . 7 $/\$
56		pnpcan 8385	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	56	3expb 1228	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
58	57	eleq1d 2298	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
59	55, 58	imbitrid 154	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
60		resubcl 8410	. . . . . . . 8 $/\$
61	60	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63		subcl 8345	. . . . . . . . . . 11 $/\$
64	63	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
65		subcl 8345	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	65	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
67	62, 64, 66	subdid 8560	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
68		nnncan1 8382	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
69	68	3com23 1233	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
70	69	3expb 1228	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
71	70	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	67, 71	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	eleq1d 2298	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
74	61, 73	imbitrid 154	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
75	59, 74	anim12d 335	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		rimul 8732	. . . . . 6 $/\$
77	76	a1i 9	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
78		subeq0 8372	. . . . . . 7 $/\$
79	78	biimpd 144	. . . . . 6 $/\$
80	79	adantl 277	. . . . 5 $/\$ $/\$
81	75, 77, 80	3syld 57	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	54, 81	biimtrid 152	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	ralrimivva 2612	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
84		oveq2 6009	. . . . 5
85	84	eleq1d 2298	. . . 4
86		oveq2 6009	. . . . . 6
87	86	oveq2d 6017	. . . . 5
88	87	eleq1d 2298	. . . 4
89	85, 88	anbi12d 473	. . 3 $/\$ $/\$
90	89	reu4 2997	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	53, 83, 90	sylanbrc 417	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1395

wcel 2200

wral 2508

wrex 2509

wreu 2510 (class class class)co 6001

cc 7997

cr 7998

cc0 7999

c1 8000

ci 8001

caddc 8002

cmul 8004

cmin 8317

cneg 8318

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-sep 4202 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-br 4084 df-opab 4146 df-id 4384 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-ltxr 8186 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722

This theorem is referenced by: cjval 11356 cjth 11357 cjf 11358 remim 11371

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