Theorem cju 9140

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	|- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cju

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8174	. . 3 |- ( A e. CC -> E. y e. RR E. z e. RR A = ( y + ( _i x. z ) ) )
2		recn 8164	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> y e. CC )
3		ax-icn 8126	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
4		recn 8164	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR -> z e. CC )
5		mulcl 8158	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ z e. CC ) -> ( _i x. z ) e. CC )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( z e. RR -> ( _i x. z ) e. CC )
7		subcl 8377	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ ( _i x. z ) e. CC ) -> ( y - ( _i x. z ) ) e. CC )
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y - ( _i x. z ) ) e. CC )
9	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> y e. CC )
10	6	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. z ) e. CC )
11	9, 10, 9	ppncand 8529	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( y + y ) )
12		readdcl 8157	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ y e. RR ) -> ( y + y ) e. RR )
13	12	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + y ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y + y ) e. RR )
15	11, 14	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR )
16	9, 10, 10	pnncand 8528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( ( _i x. z ) + ( _i x. z ) ) )
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> _i e. CC )
18	4	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> z e. CC )
19	17, 18, 18	adddid 8203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( z + z ) ) = ( ( _i x. z ) + ( _i x. z ) ) )
20	16, 19	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) = ( _i x. ( z + z ) ) )
21	20	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
22	18, 18	addcld 8198	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( z + z ) e. CC )
23		mulass 8162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( z + z ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
24	3, 3, 23	mp3an12 1363	. . . . . . . . 9 |- ( ( z + z ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) = ( _i x. ( _i x. ( z + z ) ) ) )
26	21, 25	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) )
27		ixi 8762	. . . . . . . . 9 |- ( _i x. _i ) = -u 1
28		1re 8177	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
29	28	renegcli 8440	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. RR
30	27, 29	eqeltri 2304	. . . . . . . 8 |- ( _i x. _i ) e. RR
31		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> z e. RR )
32	31, 31	readdcld 8208	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( z + z ) e. RR )
33		remulcl 8159	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. _i ) e. RR /\ ( z + z ) e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) e. RR )
34	30, 32, 33	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( z + z ) ) e. RR )
35	26, 34	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR )
36		oveq2 6025	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) )
37	36	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR <-> ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR ) )
38		oveq2 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) )
39	38	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) = ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) )
40	39	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) )
41	37, 40	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = ( y - ( _i x. z ) ) -> ( ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) <-> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) ) )
42	41	rspcev 2910	. . . . . 6 |- ( ( ( y - ( _i x. z ) ) e. CC /\ ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + ( y - ( _i x. z ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - ( y - ( _i x. z ) ) ) ) e. RR ) ) -> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1271	. . . . 5 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
44		oveq1 6024	. . . . . . . 8 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( A + x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) )
45	44	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR ) )
46		oveq1 6024	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( A - x ) = ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) )
47	46	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) )
48	47	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) )
49	45, 48	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) ) )
50	49	rexbidv 2533	. . . . 5 |- ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> ( E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> E. x e. CC ( ( ( y + ( _i x. z ) ) + x ) e. RR /\ ( _i x. ( ( y + ( _i x. z ) ) - x ) ) e. RR ) ) )
51	43, 50	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( A = ( y + ( _i x. z ) ) -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) )
52	51	rexlimivv 2656	. . 3 |- ( E. y e. RR E. z e. RR A = ( y + ( _i x. z ) ) -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
53	1, 52	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
54		an4 588	. . . 4 |- ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) <-> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) )
55		resubcl 8442	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) e. RR )
56		pnpcan 8417	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) = ( x - y ) )
57	56	3expb 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( A + x ) - ( A + y ) ) = ( x - y ) )
58	57	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( A + x ) - ( A + y ) ) e. RR <-> ( x - y ) e. RR ) )
59	55, 58	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) -> ( x - y ) e. RR ) )
60		resubcl 8442	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. ( A - y ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR )
61	60	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR )
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> _i e. CC )
63		subcl 8377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A - y ) e. CC )
64	63	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( A - y ) e. CC )
65		subcl 8377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A - x ) e. CC )
66	65	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( A - x ) e. CC )
67	62, 64, 66	subdid 8592	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( _i x. ( ( A - y ) - ( A - x ) ) ) = ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) )
68		nnncan1 8414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
69	68	3com23 1235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
70	69	3expb 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( A - y ) - ( A - x ) ) = ( x - y ) )
71	70	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( _i x. ( ( A - y ) - ( A - x ) ) ) = ( _i x. ( x - y ) ) )
72	67, 71	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) = ( _i x. ( x - y ) ) )
73	72	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( _i x. ( A - y ) ) - ( _i x. ( A - x ) ) ) e. RR <-> ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) )
74	61, 73	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) -> ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) )
75	59, 74	anim12d 335	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) )
76		rimul 8764	. . . . . 6 |- ( ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) -> ( x - y ) = 0 )
77	76	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( x - y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) -> ( x - y ) = 0 ) )
78		subeq0 8404	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
79	78	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x - y ) = 0 -> x = y ) )
80	79	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( x - y ) = 0 -> x = y ) )
81	75, 77, 80	3syld 57	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( A + y ) e. RR ) /\ ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
82	54, 81	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
83	82	ralrimivva 2614	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) )
84		oveq2 6025	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A + x ) = ( A + y ) )
85	84	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( A + y ) e. RR ) )
86		oveq2 6025	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A - x ) = ( A - y ) )
87	86	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( x = y -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( A - y ) ) )
88	87	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) )
89	85, 88	anbi12d 473	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) )
90	89	reu4 3000	. 2 |- ( E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( E. x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) /\ ( ( A + y ) e. RR /\ ( _i x. ( A - y ) ) e. RR ) ) -> x = y ) ) )
91	53, 83, 90	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   E!wreu 2512  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   _ici 8033   + caddc 8034   x. cmul 8036   - cmin 8349   -ucneg 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754

This theorem is referenced by:  cjval  11405  cjth  11406  cjf  11407  remim  11420