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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cju | Unicode version |
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
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cju |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cnre 7931 |
. . 3
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2 | recn 7922 |
. . . . . . 7
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3 | ax-icn 7884 |
. . . . . . . 8
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4 | recn 7922 |
. . . . . . . 8
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5 | mulcl 7916 |
. . . . . . . 8
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6 | 3, 4, 5 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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7 | subcl 8133 |
. . . . . . 7
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8 | 2, 6, 7 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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9 | 2 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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10 | 6 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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11 | 9, 10, 9 | ppncand 8285 |
. . . . . . 7
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12 | readdcl 7915 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | anidms 397 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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15 | 11, 14 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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16 | 9, 10, 10 | pnncand 8284 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 3 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 17, 18, 18 | adddid 7959 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 16, 19 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | oveq2d 5884 |
. . . . . . . 8
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22 | 18, 18 | addcld 7954 |
. . . . . . . . 9
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23 | mulass 7920 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 3, 3, 23 | mp3an12 1327 |
. . . . . . . . 9
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25 | 22, 24 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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26 | 21, 25 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . 7
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27 | ixi 8517 |
. . . . . . . . 9
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28 | 1re 7934 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 28 | renegcli 8196 |
. . . . . . . . 9
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30 | 27, 29 | eqeltri 2250 |
. . . . . . . 8
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31 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31, 31 | readdcld 7964 |
. . . . . . . 8
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33 | remulcl 7917 |
. . . . . . . 8
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34 | 30, 32, 33 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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35 | 26, 34 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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36 | oveq2 5876 |
. . . . . . . . 9
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37 | 36 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . 8
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38 | oveq2 5876 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | oveq2d 5884 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . 8
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41 | 37, 40 | anbi12d 473 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | rspcev 2841 |
. . . . . 6
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43 | 8, 15, 35, 42 | syl12anc 1236 |
. . . . 5
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44 | oveq1 5875 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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46 | oveq1 5875 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | oveq2d 5884 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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49 | 45, 48 | anbi12d 473 |
. . . . . 6
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50 | 49 | rexbidv 2478 |
. . . . 5
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51 | 43, 50 | syl5ibrcom 157 |
. . . 4
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52 | 51 | rexlimivv 2600 |
. . 3
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53 | 1, 52 | syl 14 |
. 2
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54 | an4 586 |
. . . 4
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55 | resubcl 8198 |
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60 | resubcl 8198 |
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69 | 68 | 3com23 1209 |
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74 | 61, 73 | imbitrid 154 |
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81 | 75, 77, 80 | 3syld 57 |
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82 | 54, 81 | biimtrid 152 |
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84 | oveq2 5876 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-mulrcl 7888 ax-addcom 7889 ax-mulcom 7890 ax-addass 7891 ax-mulass 7892 ax-distr 7893 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-1rid 7896 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-precex 7899 ax-cnre 7900 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-lttrn 7903 ax-pre-apti 7904 ax-pre-ltadd 7905 ax-pre-mulgt0 7906 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-br 4001 df-opab 4062 df-id 4289 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fv 5219 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-ltxr 7974 df-sub 8107 df-neg 8108 df-reap 8509 |
This theorem is referenced by: cjval 10825 cjth 10826 cjf 10827 remim 10840 |
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