cju - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cju		Unicode version

Theorem cju 8743

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
cju	$/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem cju Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7786	. . 3
2		recn 7777	. . . . . . 7
3		ax-icn 7739	. . . . . . . 8
4		recn 7777	. . . . . . . 8
5		mulcl 7771	. . . . . . . 8 $/\$
6	3, 4, 5	sylancr 411	. . . . . . 7
7		subcl 7985	. . . . . . 7 $/\$
8	2, 6, 7	syl2an 287	. . . . . 6 $/\$
9	2	adantr 274	. . . . . . . 8 $/\$
10	6	adantl 275	. . . . . . . 8 $/\$
11	9, 10, 9	ppncand 8137	. . . . . . 7 $/\$
12		readdcl 7770	. . . . . . . . 9 $/\$
13	12	anidms 395	. . . . . . . 8
14	13	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$
15	11, 14	eqeltrd 2217	. . . . . 6 $/\$
16	9, 10, 10	pnncand 8136	. . . . . . . . . 10 $/\$
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
18	4	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
19	17, 18, 18	adddid 7814	. . . . . . . . . 10 $/\$
20	16, 19	eqtr4d 2176	. . . . . . . . 9 $/\$
21	20	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 $/\$
22	18, 18	addcld 7809	. . . . . . . . 9 $/\$
23		mulass 7775	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	3, 3, 23	mp3an12 1306	. . . . . . . . 9
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
26	21, 25	eqtr4d 2176	. . . . . . 7 $/\$
27		ixi 8369	. . . . . . . . 9
28		1re 7789	. . . . . . . . . 10
29	28	renegcli 8048	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeltri 2213	. . . . . . . 8
31		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$
32	31, 31	readdcld 7819	. . . . . . . 8 $/\$
33		remulcl 7772	. . . . . . . 8 $/\$
34	30, 32, 33	sylancr 411	. . . . . . 7 $/\$
35	26, 34	eqeltrd 2217	. . . . . 6 $/\$
36		oveq2 5790	. . . . . . . . 9
37	36	eleq1d 2209	. . . . . . . 8
38		oveq2 5790	. . . . . . . . . 10
39	38	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9
40	39	eleq1d 2209	. . . . . . . 8
41	37, 40	anbi12d 465	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
42	41	rspcev 2793	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1215	. . . . 5 $/\$ $/\$
44		oveq1 5789	. . . . . . . 8
45	44	eleq1d 2209	. . . . . . 7
46		oveq1 5789	. . . . . . . . 9
47	46	oveq2d 5798	. . . . . . . 8
48	47	eleq1d 2209	. . . . . . 7
49	45, 48	anbi12d 465	. . . . . 6 $/\$ $/\$
50	49	rexbidv 2439	. . . . 5 $/\$ $/\$
51	43, 50	syl5ibrcom 156	. . . 4 $/\$ $/\$
52	51	rexlimivv 2558	. . 3 $/\$
53	1, 52	syl 14	. 2 $/\$
54		an4 576	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		resubcl 8050	. . . . . . 7 $/\$
56		pnpcan 8025	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	56	3expb 1183	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
58	57	eleq1d 2209	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
59	55, 58	syl5ib 153	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
60		resubcl 8050	. . . . . . . 8 $/\$
61	60	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63		subcl 7985	. . . . . . . . . . 11 $/\$
64	63	adantrl 470	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
65		subcl 7985	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	65	adantrr 471	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
67	62, 64, 66	subdid 8200	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
68		nnncan1 8022	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
69	68	3com23 1188	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
70	69	3expb 1183	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
71	70	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	67, 71	eqtr3d 2175	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	eleq1d 2209	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
74	61, 73	syl5ib 153	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
75	59, 74	anim12d 333	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		rimul 8371	. . . . . 6 $/\$
77	76	a1i 9	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
78		subeq0 8012	. . . . . . 7 $/\$
79	78	biimpd 143	. . . . . 6 $/\$
80	79	adantl 275	. . . . 5 $/\$ $/\$
81	75, 77, 80	3syld 57	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	54, 81	syl5bi 151	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	ralrimivva 2517	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
84		oveq2 5790	. . . . 5
85	84	eleq1d 2209	. . . 4
86		oveq2 5790	. . . . . 6
87	86	oveq2d 5798	. . . . 5
88	87	eleq1d 2209	. . . 4
89	85, 88	anbi12d 465	. . 3 $/\$ $/\$
90	89	reu4 2882	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	53, 83, 90	sylanbrc 414	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wceq 1332

wcel 1481

wral 2417

wrex 2418

wreu 2419 (class class class)co 5782

cc 7642

cr 7643

cc0 7644

c1 7645

ci 7646

caddc 7647

cmul 7649

cmin 7957

cneg 7958

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-br 3938 df-opab 3998 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-ltxr 7829 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361

This theorem is referenced by: cjval 10649 cjth 10650 cjf 10651 remim 10664

W3C validator