Theorem cnmet 13170

Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnmet	|- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )

Proof of Theorem cnmet

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7877	. 2 |- CC e. _V
2		absf 11052	. . 3 |- abs : CC --> RR
3		subf 8100	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
4		fco 5353	. . 3 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
5	2, 3, 4	mp2an 423	. 2 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
6		subcl 8097	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) e. CC )
7	6	abs00ad 11007	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) = 0 <-> ( x - y ) = 0 ) )
8		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
9	8	cnmetdval 13169	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
10	9	eqcomd 2171	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
11	10	eqeq1d 2174	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) = 0 <-> ( x ( abs o. - ) y ) = 0 ) )
12		subeq0 8124	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
13	7, 11, 12	3bitr3d 217	. 2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x ( abs o. - ) y ) = 0 <-> x = y ) )
14		abs3dif 11047	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
15		abssub 11043	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( x - z ) ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
16	15	oveq1d 5857	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) = ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
17	16	3adant2 1006	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) = ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
18	14, 17	breqtrd 4008	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
19	9	3adant3 1007	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
20	8	cnmetdval 13169	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
21	20	3adant3 1007	. . . . 5 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
22	8	cnmetdval 13169	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC /\ y e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
23	22	3adant2 1006	. . . . 5 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
24	21, 23	oveq12d 5860	. . . 4 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( z ( abs o. - ) x ) + ( z ( abs o. - ) y ) ) = ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
25	24	3coml 1200	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( z ( abs o. - ) x ) + ( z ( abs o. - ) y ) ) = ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
26	18, 19, 25	3brtr4d 4014	. 2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) <_ ( ( z ( abs o. - ) x ) + ( z ( abs o. - ) y ) ) )
27	1, 5, 13, 26	ismeti 12986	1 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   X. cxp 4602   o. ccom 4608   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   + caddc 7756   <_ cle 7934   - cmin 8069   abscabs 10939   Metcmet 12621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-met 12629

This theorem is referenced by:  cnxmet  13171  remet  13180