ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subeq0 GIF version

Theorem subeq0 7708
Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
subeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0
StepHypRef Expression
1 subid 7701 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵𝐵) = 0)
21adantl 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐵) = 0)
32eqeq2d 2099 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = 0))
4 subcan2 7707 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
543anidm23 1233 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
63, 5bitr3d 188 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5652  cc 7348  0cc0 7350  cmin 7653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7655
This theorem is referenced by:  subeq0i  7762  subeq0d  7801  subne0d  7802  subeq0ad  7803  cju  8421  fzocongeq  11137
  Copyright terms: Public domain W3C validator