ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  submid Unicode version

Theorem submid 13039
Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submss.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
submid  |-  ( M  e.  Mnd  ->  B  e.  (SubMnd `  M )
)

Proof of Theorem submid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3200 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  B  C_  B )
2 submss.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 eqid 2193 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
42, 3mndidcl 13001 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  B )
5 eqid 2193 . . . . 5  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
62, 5mndcl 12994 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  B )
763expb 1206 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  B )
87ralrimivva 2576 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  B
)
92, 3, 5issubm 13034 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( B  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( B  C_  B  /\  ( 0g `  M )  e.  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  B ) ) )
101, 4, 8, 9mpbir3and 1182 1  |-  ( M  e.  Mnd  ->  B  e.  (SubMnd `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472    C_ wss 3153   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   Basecbs 12608   +g cplusg 12685   0gc0g 12857   Mndcmnd 12987  SubMndcsubmnd 13020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1re 7956  ax-addrcl 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-inn 8973  df-2 9031  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-plusg 12698  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-submnd 13022
This theorem is referenced by:  gsumwcl  13059
  Copyright terms: Public domain W3C validator