Theorem submid 13353

Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	|- B = ( Base ` M )

Assertion

Ref	Expression
submid	|- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem submid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3215	. 2 |- ( M e. Mnd -> B C_ B )
2		submss.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
3		eqid 2206	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4	2, 3	mndidcl 13306	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. B )
5		eqid 2206	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
6	2, 5	mndcl 13299	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
7	6	3expb 1207	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
8	7	ralrimivva 2589	. 2 |- ( M e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
9	2, 3, 5	issubm 13348	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( B e. (SubMnd ` M ) <-> ( B C_ B /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) )
10	1, 4, 8, 9	mpbir3and 1183	1 |- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   C_ wss 3167   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   Basecbs 12876   +g cplusg 12953   0gc0g 13132   Mndcmnd 13292  SubMndcsubmnd 13334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-inn 9044  df-2 9102  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-submnd 13336

This theorem is referenced by:  gsumwcl  13373