Theorem submid 13496

Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	|- B = ( Base ` M )

Assertion

Ref	Expression
submid	|- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem submid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3245	. 2 |- ( M e. Mnd -> B C_ B )
2		submss.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4	2, 3	mndidcl 13449	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. B )
5		eqid 2229	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
6	2, 5	mndcl 13442	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
7	6	3expb 1228	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
8	7	ralrimivva 2612	. 2 |- ( M e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
9	2, 3, 5	issubm 13491	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( B e. (SubMnd ` M ) <-> ( B C_ B /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) )
10	1, 4, 8, 9	mpbir3and 1204	1 |- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   +g cplusg 13096   0gc0g 13275   Mndcmnd 13435  SubMndcsubmnd 13477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-inn 9099  df-2 9157  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-submnd 13479

This theorem is referenced by:  gsumwcl  13516