Theorem submid 13786

Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	|- B = ( Base ` M )

Assertion

Ref	Expression
submid	|- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem submid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3269	. 2 |- ( M e. Mnd -> B C_ B )
2		submss.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4	2, 3	mndidcl 13745	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. B )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
6	2, 5	mndcl 13738	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
7	6	3expb 1235	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
8	7	ralrimivva 2632	. 2 |- ( M e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
9	2, 3, 5	issubm 13781	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( B e. (SubMnd ` M ) <-> ( B C_ B /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) )
10	1, 4, 8, 9	mpbir3and 1211	1 |- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13354   +g cplusg 13433   0gc0g 13612   Mndcmnd 13731  SubMndcsubmnd 13767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9306  df-2 9364  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-submnd 13769

This theorem is used by:  gzsumwcl  13804