Theorem submid 13621

Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	|- B = ( Base ` M )

Assertion

Ref	Expression
submid	|- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem submid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3249	. 2 |- ( M e. Mnd -> B C_ B )
2		submss.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4	2, 3	mndidcl 13574	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. B )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
6	2, 5	mndcl 13567	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
7	6	3expb 1231	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
8	7	ralrimivva 2615	. 2 |- ( M e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
9	2, 3, 5	issubm 13616	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( B e. (SubMnd ` M ) <-> ( B C_ B /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) )
10	1, 4, 8, 9	mpbir3and 1207	1 |- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   0gc0g 13400   Mndcmnd 13560  SubMndcsubmnd 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9187  df-2 9245  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-submnd 13604

This theorem is referenced by:  gsumwcl  13641