Theorem submid 13119

Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	|- B = ( Base ` M )

Assertion

Ref	Expression
submid	|- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem submid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3205	. 2 |- ( M e. Mnd -> B C_ B )
2		submss.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
3		eqid 2196	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4	2, 3	mndidcl 13081	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. B )
5		eqid 2196	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
6	2, 5	mndcl 13074	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
7	6	3expb 1206	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
8	7	ralrimivva 2579	. 2 |- ( M e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
9	2, 3, 5	issubm 13114	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( B e. (SubMnd ` M ) <-> ( B C_ B /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) )
10	1, 4, 8, 9	mpbir3and 1182	1 |- ( M e. Mnd -> B e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   +g cplusg 12765   0gc0g 12937   Mndcmnd 13067  SubMndcsubmnd 13100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1re 7975  ax-addrcl 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-inn 8993  df-2 9051  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-submnd 13102

This theorem is referenced by:  gsumwcl  13139