ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  submid Unicode version

Theorem submid 12758
Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submss.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
submid  |-  ( M  e.  Mnd  ->  B  e.  (SubMnd `  M )
)

Proof of Theorem submid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3176 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  B  C_  B )
2 submss.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 eqid 2177 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
42, 3mndidcl 12723 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  B )
5 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
62, 5mndcl 12716 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  B )
763expb 1204 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  B )
87ralrimivva 2559 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  B
)
92, 3, 5issubm 12753 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( B  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( B  C_  B  /\  ( 0g `  M )  e.  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  B ) ) )
101, 4, 8, 9mpbir3and 1180 1  |-  ( M  e.  Mnd  ->  B  e.  (SubMnd `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    C_ wss 3129   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12445   +g cplusg 12518   0gc0g 12653   Mndcmnd 12709  SubMndcsubmnd 12740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-inn 8909  df-2 8967  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-0g 12655  df-mgm 12667  df-sgrp 12700  df-mnd 12710  df-submnd 12742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator