Theorem submid 13767

Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submid	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem submid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3269	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
2		submss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4	2, 3	mndidcl 13726	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
6	2, 5	mndcl 13719	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	3expb 1235	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
8	7	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
9	2, 3, 5	issubm 13762	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)))
10	1, 4, 8, 9	mpbir3and 1211	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  0_gc0g 13593  Mndcmnd 13712  SubMndcsubmnd 13748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-submnd 13750

This theorem is referenced by:  gzsumwcl  13785