Theorem submid 12873

Description: Every monoid is trivially a submonoid of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submid	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem submid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3178	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
2		submss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2177	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4	2, 3	mndidcl 12836	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
5		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
6	2, 5	mndcl 12829	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	3expb 1204	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
8	7	ralrimivva 2559	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
9	2, 3, 5	issubm 12868	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)))
10	1, 4, 8, 9	mpbir3and 1180	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ⊆ wss 3131  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +_gcplusg 12538  0_gc0g 12710  Mndcmnd 12822  SubMndcsubmnd 12855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-submnd 12857

This theorem is referenced by: (None)