Theorem subrngbas 14155

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrng0.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrngbas	|- ( A e. (SubRng ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Proof of Theorem subrngbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 14153	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		subrng0.1	. . 3 |- S = ( R ↾s A )
3	2	subgbas 13701	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   ↾_s cress 13019  SubGrpcsubg 13690  SubRngcsubrng 14146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-subg 13693  df-abl 13810  df-rng 13882  df-subrng 14147

This theorem is referenced by:  subrngmcl  14158  subsubrng  14163