Theorem subrngbas 14343

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrng0.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrngbas	|- ( A e. (SubRng ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Proof of Theorem subrngbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 14341	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		subrng0.1	. . 3 |- S = ( R ↾s A )
3	2	subgbas 13887	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204   ↾_s cress 13205  SubGrpcsubg 13876  SubRngcsubrng 14334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-subg 13879  df-abl 13996  df-rng 14069  df-subrng 14335

This theorem is referenced by:  subrngmcl  14346  subsubrng  14351