Theorem subrngbas 14241

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrng0.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrngbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrngbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 14239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrng0.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subgbas 13785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5325  (class class class)co 6020  Basecbs 13102   ↾_s cress 13103  SubGrpcsubg 13774  SubRngcsubrng 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1re 8128  ax-addrcl 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-fv 5333  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-sets 13109  df-iress 13110  df-plusg 13193  df-mulr 13194  df-subg 13777  df-abl 13894  df-rng 13967  df-subrng 14233

This theorem is referenced by:  subrngmcl  14244  subsubrng  14249