Theorem subgbas 13931

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H = ( G ↾s S ) )
3		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
5	3	issubg 13926	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
6	5	simp1bi 1039	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
7	3	subgss 13927	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 13365	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   ↾_s cress 13297   Grpcgrp 13755  SubGrpcsubg 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-subg 13923

This theorem is referenced by:  subg0  13933  subginv  13934  subg0cl  13935  subginvcl  13936  subgcl  13937  subgsub  13939  subgmulg  13941  issubg2m  13942  subsubg  13950  nmznsg  13966  subgabl  14085  subrngbas  14452  issubrng2  14456  subrgbas  14476  issubrg2  14487