Theorem subgbas 13514

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H = ( G ↾s S ) )
3		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
5	3	issubg 13509	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
6	5	simp1bi 1015	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
7	3	subgss 13510	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 12900	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   ↾_s cress 12833   Grpcgrp 13332  SubGrpcsubg 13503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-inn 9037  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-subg 13506

This theorem is referenced by:  subg0  13516  subginv  13517  subg0cl  13518  subginvcl  13519  subgcl  13520  subgsub  13522  subgmulg  13524  issubg2m  13525  subsubg  13533  nmznsg  13549  subgabl  13668  subrngbas  13968  issubrng2  13972  subrgbas  13992  issubrg2  14003