Theorem subgbas 13895

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H = ( G ↾s S ) )
3		eqid 2232	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
5	3	issubg 13890	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
6	5	simp1bi 1039	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
7	3	subgss 13891	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 13281	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213   Grpcgrp 13713  SubGrpcsubg 13884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-inn 9238  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-subg 13887

This theorem is referenced by:  subg0  13897  subginv  13898  subg0cl  13899  subginvcl  13900  subgcl  13901  subgsub  13903  subgmulg  13905  issubg2m  13906  subsubg  13914  nmznsg  13930  subgabl  14049  subrngbas  14351  issubrng2  14355  subrgbas  14375  issubrg2  14386