Theorem subgbas 13629

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H = ( G ↾s S ) )
3		eqid 2207	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
5	3	issubg 13624	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
6	5	simp1bi 1015	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
7	3	subgss 13625	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 13015	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   ↾_s cress 12948   Grpcgrp 13447  SubGrpcsubg 13618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-inn 9072  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-subg 13621

This theorem is referenced by:  subg0  13631  subginv  13632  subg0cl  13633  subginvcl  13634  subgcl  13635  subgsub  13637  subgmulg  13639  issubg2m  13640  subsubg  13648  nmznsg  13664  subgabl  13783  subrngbas  14083  issubrng2  14087  subrgbas  14107  issubrg2  14118