Theorem subgbas 13958

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H = ( G ↾s S ) )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
5	3	issubg 13953	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
6	5	simp1bi 1043	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
7	3	subgss 13954	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 13399	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331   Grpcgrp 13782  SubGrpcsubg 13947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-subg 13950

This theorem is referenced by:  subg0  13960  subginv  13961  subg0cl  13962  subginvcl  13963  subgcl  13964  subgsub  13966  subgmulg  13968  issubg2m  13969  subsubg  13977  nmznsg  13993  subgabl  14113  subrngbas  14487  issubrng2  14491  subrgbas  14511  issubrg2  14522