Theorem subsub4 8262

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subsub4	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) - C ) = ( A - ( B + C ) ) )

Proof of Theorem subsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nppcan2 8260	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - ( B + C ) ) + C ) = ( A - B ) )
2		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A e. CC )
3		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> B e. CC )
4		subcl 8228	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
6		simp3 1001	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> C e. CC )
7	3, 6	addcld 8049	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + C ) e. CC )
8		subcl 8228	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( A - ( B + C ) ) e. CC )
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - ( B + C ) ) e. CC )
10		subadd2 8233	. . 3 |- ( ( ( A - B ) e. CC /\ C e. CC /\ ( A - ( B + C ) ) e. CC ) -> ( ( ( A - B ) - C ) = ( A - ( B + C ) ) <-> ( ( A - ( B + C ) ) + C ) = ( A - B ) ) )
11	5, 6, 9, 10	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( A - B ) - C ) = ( A - ( B + C ) ) <-> ( ( A - ( B + C ) ) + C ) = ( A - B ) ) )
12	1, 11	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) - C ) = ( A - ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5923   CCcc 7880   + caddc 7885   - cmin 8200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-cnre 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-sub 8202

This theorem is referenced by:  sub32  8263  nnncan  8264  pnpcan  8268  addsub4  8272  subsub4d  8371  2shfti  10999  nn0seqcvgd  12220