Theorem 2shfti 11391

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
2	1	shftfval 11381	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3	2	breqd 4099	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
4	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
5		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
6		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
7	5, 6	subcld 8489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
8		vex 2805	. . . . . . 7 |- y e. _V
9		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( z e. CC <-> ( x - B ) e. CC ) )
10		oveq1 6024	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x - B ) -> ( z - A ) = ( ( x - B ) - A ) )
11	10	breq1d 4098	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F w ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) ) )
13		breq2 4092	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F y ) )
14	13	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
15		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) }
16	12, 14, 15	brabg 4363	. . . . . . 7 |- ( ( ( x - B ) e. CC /\ y e. _V ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
17	7, 8, 16	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
19		subcl 8377	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
20	19	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
21	20	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
22	21	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
23		sub32 8412	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( ( x - B ) - A ) )
24		subsub4 8411	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( x - ( A + B ) ) )
25	23, 24	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
26	25	3expb 1230	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
27	26	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
28	27	breq1d 4098	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
29	18, 22, 28	3bitr2d 216	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
30	29	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) ) )
31	30	opabbidv 4155	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
32		ovshftex 11379	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )
33	1, 32	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) e. _V )
34		shftfvalg 11378	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ ( F shift A ) e. _V ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
35	33, 34	sylan2 286	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
36	35	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
37		addcl 8156	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
38	1	shftfval 11381	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
39	37, 38	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
40	31, 36, 39	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   class class class wbr 4088   {copab 4149  (class class class)co 6017   CCcc 8029   + caddc 8034   - cmin 8349   shift cshi 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-shft 11375

This theorem is referenced by:  shftcan1  11394