Theorem 2shfti 11541

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
2	1	shftfval 11531	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3	2	breqd 4125	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
4	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
5		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
6		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
7	5, 6	subcld 8600	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
8		vex 2818	. . . . . . 7 |- y e. _V
9		eleq1 2297	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( z e. CC <-> ( x - B ) e. CC ) )
10		oveq1 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x - B ) -> ( z - A ) = ( ( x - B ) - A ) )
11	10	breq1d 4124	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F w ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) ) )
13		breq2 4118	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F y ) )
14	13	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
15		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) }
16	12, 14, 15	brabg 4392	. . . . . . 7 |- ( ( ( x - B ) e. CC /\ y e. _V ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
17	7, 8, 16	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
19		subcl 8488	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
20	19	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
21	20	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
22	21	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
23		sub32 8523	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( ( x - B ) - A ) )
24		subsub4 8522	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( x - ( A + B ) ) )
25	23, 24	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
26	25	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
27	26	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
28	27	breq1d 4124	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
29	18, 22, 28	3bitr2d 216	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
30	29	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) ) )
31	30	opabbidv 4181	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
32		ovshftex 11529	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )
33	1, 32	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) e. _V )
34		shftfvalg 11528	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ ( F shift A ) e. _V ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
35	33, 34	sylan2 286	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
36	35	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
37		addcl 8268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
38	1	shftfval 11531	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
39	37, 38	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
40	31, 36, 39	3eqtr4d 2277	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   {copab 4175  (class class class)co 6058   CCcc 8141   + caddc 8146   - cmin 8460   shift cshi 11524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-shft 11525

This theorem is referenced by:  shftcan1  11544