Theorem 2shfti 10996

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
2	1	shftfval 10986	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3	2	breqd 4044	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
4	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
5		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
6		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
7	5, 6	subcld 8337	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
8		vex 2766	. . . . . . 7 |- y e. _V
9		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( z e. CC <-> ( x - B ) e. CC ) )
10		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x - B ) -> ( z - A ) = ( ( x - B ) - A ) )
11	10	breq1d 4043	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F w ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) ) )
13		breq2 4037	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F y ) )
14	13	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
15		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) }
16	12, 14, 15	brabg 4303	. . . . . . 7 |- ( ( ( x - B ) e. CC /\ y e. _V ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
17	7, 8, 16	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
19		subcl 8225	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
20	19	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
21	20	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
22	21	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
23		sub32 8260	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( ( x - B ) - A ) )
24		subsub4 8259	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( x - ( A + B ) ) )
25	23, 24	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
26	25	3expb 1206	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
27	26	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
28	27	breq1d 4043	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
29	18, 22, 28	3bitr2d 216	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
30	29	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) ) )
31	30	opabbidv 4099	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
32		ovshftex 10984	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )
33	1, 32	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) e. _V )
34		shftfvalg 10983	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ ( F shift A ) e. _V ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
35	33, 34	sylan2 286	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
36	35	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
37		addcl 8004	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
38	1	shftfval 10986	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
39	37, 38	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
40	31, 36, 39	3eqtr4d 2239	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   {copab 4093  (class class class)co 5922   CCcc 7877   + caddc 7882   - cmin 8197   shift cshi 10979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-shft 10980

This theorem is referenced by:  shftcan1  10999