Theorem 2shfti 10824

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
2	1	shftfval 10814	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3	2	breqd 4011	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
4	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
5		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
6		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
7	5, 6	subcld 8258	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
8		vex 2740	. . . . . . 7 |- y e. _V
9		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( z e. CC <-> ( x - B ) e. CC ) )
10		oveq1 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x - B ) -> ( z - A ) = ( ( x - B ) - A ) )
11	10	breq1d 4010	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F w ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) ) )
13		breq2 4004	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F y ) )
14	13	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
15		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) }
16	12, 14, 15	brabg 4266	. . . . . . 7 |- ( ( ( x - B ) e. CC /\ y e. _V ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
17	7, 8, 16	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
19		subcl 8146	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
20	19	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
21	20	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
22	21	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
23		sub32 8181	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( ( x - B ) - A ) )
24		subsub4 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( x - ( A + B ) ) )
25	23, 24	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
26	25	3expb 1204	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
27	26	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
28	27	breq1d 4010	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
29	18, 22, 28	3bitr2d 216	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
30	29	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) ) )
31	30	opabbidv 4066	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
32		ovshftex 10812	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )
33	1, 32	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) e. _V )
34		shftfvalg 10811	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ ( F shift A ) e. _V ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
35	33, 34	sylan2 286	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
36	35	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
37		addcl 7927	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
38	1	shftfval 10814	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
39	37, 38	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
40	31, 36, 39	3eqtr4d 2220	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   class class class wbr 4000   {copab 4060  (class class class)co 5869   CCcc 7800   + caddc 7805   - cmin 8118   shift cshi 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-sub 8120  df-shft 10808

This theorem is referenced by:  shftcan1  10827