Theorem 2shfti 11574

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
2	1	shftfval 11564	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3	2	breqd 4136	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
4	3	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y ) )
5		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
6		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
7	5, 6	subcld 8627	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
8		vex 2824	. . . . . . 7 |- y e. _V
9		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( z e. CC <-> ( x - B ) e. CC ) )
10		oveq1 6082	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x - B ) -> ( z - A ) = ( ( x - B ) - A ) )
11	10	breq1d 4135	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F w ) )
12	9, 11	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x - B ) -> ( ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) ) )
13		breq2 4129	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) - A ) F w <-> ( ( x - B ) - A ) F y ) )
14	13	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F w ) <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
15		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) }
16	12, 14, 15	brabg 4406	. . . . . . 7 |- ( ( ( x - B ) e. CC /\ y e. _V ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
17	7, 8, 16	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
19		subcl 8515	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
20	19	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
21	20	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
22	21	adantll 480	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( ( x - B ) e. CC /\ ( ( x - B ) - A ) F y ) ) )
23		sub32 8550	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( ( x - B ) - A ) )
24		subsub4 8549	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - A ) - B ) = ( x - ( A + B ) ) )
25	23, 24	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
26	25	3expb 1235	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
27	26	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) - A ) = ( x - ( A + B ) ) )
28	27	breq1d 4135	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( x - B ) - A ) F y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
29	18, 22, 28	3bitr2d 216	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ( F shift A ) y <-> ( x - ( A + B ) ) F y ) )
30	29	pm5.32da 456	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) ) )
31	30	opabbidv 4192	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
32		ovshftex 11562	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )
33	1, 32	mpan 428	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) e. _V )
34		shftfvalg 11561	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ ( F shift A ) e. _V ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
35	33, 34	sylan2 286	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
36	35	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - B ) ( F shift A ) y ) } )
37		addcl 8294	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
38	1	shftfval 11564	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
39	37, 38	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F shift ( A + B ) ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - ( A + B ) ) F y ) } )
40	31, 36, 39	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift B ) = ( F shift ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   {copab 4186  (class class class)co 6075   CCcc 8167   + caddc 8172   - cmin 8487   shift cshi 11557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-shft 11558

This theorem is referenced by:  shftcan1  11577