Theorem nn0seqcvgd 12693

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term N reaches zero by the N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	|- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2	|- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
nn0seqcvgd.3	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	|- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
3		0nn0 9476	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
4		ffvelcdm 5788	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
6	1, 5	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
7	6	nn0red 9517	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
8	7	leidd 8753	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ N )
9		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( F ` m ) = ( F ` 0 ) )
10		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( N - m ) = ( N - 0 ) )
11	9, 10	breq12d 4106	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) ) )
13		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
14		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( N - m ) = ( N - k ) )
15	13, 14	breq12d 4106	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) ) )
17		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N - m ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
19	17, 18	breq12d 4106	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
21		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( F ` m ) = ( F ` N ) )
22		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( N - m ) = ( N - N ) )
23	21, 22	breq12d 4106	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) ) )
25	1, 8	eqbrtrrd 4117	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ N )
26	7	recnd 8267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. CC )
27	26	subid1d 8538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 0 ) = N )
28	25, 27	breqtrrd 4121	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) )
29	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
30		nn0re 9470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
31		posdif 8694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
32	30, 7, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
34		breq1 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
36		peano2nn0 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
37		ffvelcdm 5788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
38	2, 36, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
39	38	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
40	6	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. ZZ )
41		nn0z 9560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
42		zsubcl 9581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N - k ) e. ZZ )
43	40, 41, 42	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. ZZ )
44		zltlem1 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - k ) e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
45	39, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
46		nn0cn 9471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
47		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
48		subsub4 8471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	mp3an3 1363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
50	26, 46, 49	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
51	50	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
54	33, 35, 53	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
55	54	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
56	55	an32s 570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
57	56	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )
59	38	nn0red 9517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
60	2	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. NN0 )
61	60	nn0red 9517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	43	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. RR )
63		ltletr 8328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( F ` k ) e. RR /\ ( N - k ) e. RR ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
65	64, 52	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
66	58, 65	syland 293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
68	67	expdimp 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
69	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
70		0zd 9552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> 0 e. ZZ )
71		zdceq 9616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 )
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 )
73		dcne 2414	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 \/ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
74	72, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 \/ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
75	57, 68, 74	mpjaodan 806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
76	75	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ k < N ) ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
77	76	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
78	77	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
79	78	3adant1 1042	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
80	12, 16, 20, 24, 29, 79	fnn0ind 9657	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. NN0 /\ N <_ N ) -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
81	6, 6, 8, 80	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
82	81	pm2.43i 49	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) )
83	26	subidd 8537	. . 3 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
84	82, 83	breqtrd 4119	. 2 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ 0 )
85	2, 6	ffvelcdmd 5791	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. NN0 )
86	85	nn0ge0d 9519	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` N ) )
87	85	nn0red 9517	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
88		0re 8239	. . 3 |- 0 e. RR
89		letri3 8319	. . 3 |- ( ( ( F ` N ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
90	87, 88, 89	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
91	84, 86, 90	mpbir2and 953	1 |- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   NN0cn0 9461   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  algcvg  12700