Theorem nn0seqcvgd 12209

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term N reaches zero by the N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	|- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2	|- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
nn0seqcvgd.3	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	|- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
3		0nn0 9264	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
4		ffvelcdm 5695	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
6	1, 5	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
7	6	nn0red 9303	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
8	7	leidd 8541	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ N )
9		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( F ` m ) = ( F ` 0 ) )
10		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( N - m ) = ( N - 0 ) )
11	9, 10	breq12d 4046	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) ) )
13		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
14		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( N - m ) = ( N - k ) )
15	13, 14	breq12d 4046	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) ) )
17		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N - m ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
19	17, 18	breq12d 4046	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
21		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( F ` m ) = ( F ` N ) )
22		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( N - m ) = ( N - N ) )
23	21, 22	breq12d 4046	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) ) )
25	1, 8	eqbrtrrd 4057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ N )
26	7	recnd 8055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. CC )
27	26	subid1d 8326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 0 ) = N )
28	25, 27	breqtrrd 4061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) )
29	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
30		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
31		posdif 8482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
32	30, 7, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
34		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
36		peano2nn0 9289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
37		ffvelcdm 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
38	2, 36, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
39	38	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
40	6	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. ZZ )
41		nn0z 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
42		zsubcl 9367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N - k ) e. ZZ )
43	40, 41, 42	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. ZZ )
44		zltlem1 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - k ) e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
45	39, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
46		nn0cn 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
47		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
48		subsub4 8259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	mp3an3 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
50	26, 46, 49	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
51	50	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
54	33, 35, 53	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
55	54	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
56	55	an32s 568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
57	56	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )
59	38	nn0red 9303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
60	2	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. NN0 )
61	60	nn0red 9303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	43	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. RR )
63		ltletr 8116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( F ` k ) e. RR /\ ( N - k ) e. RR ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
65	64, 52	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
66	58, 65	syland 293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
68	67	expdimp 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
69	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
70		0zd 9338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> 0 e. ZZ )
71		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 )
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 )
73		dcne 2378	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 \/ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
74	72, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 \/ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
75	57, 68, 74	mpjaodan 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
76	75	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ k < N ) ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
77	76	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
78	77	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
79	78	3adant1 1017	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
80	12, 16, 20, 24, 29, 79	fnn0ind 9442	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. NN0 /\ N <_ N ) -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
81	6, 6, 8, 80	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
82	81	pm2.43i 49	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) )
83	26	subidd 8325	. . 3 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
84	82, 83	breqtrd 4059	. 2 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ 0 )
85	2, 6	ffvelcdmd 5698	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. NN0 )
86	85	nn0ge0d 9305	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` N ) )
87	85	nn0red 9303	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
88		0re 8026	. . 3 |- 0 e. RR
89		letri3 8107	. . 3 |- ( ( ( F ` N ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
90	87, 88, 89	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
91	84, 86, 90	mpbir2and 946	1 |- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   class class class wbr 4033   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   NN0cn0 9249   ZZcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  algcvg  12216