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Theorem nn0seqcvgd 11629
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term  N reaches zero by the  N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
nn0seqcvgd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, N    ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
3 0nn0 8946 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
4 ffvelrn 5519 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  NN0 )
52, 3, 4sylancl 407 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  NN0 )
61, 5eqeltrd 2192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
76nn0red 8985 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
87leidd 8240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  <_  N )
9 fveq2 5387 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( F `  m )  =  ( F ` 
0 ) )
10 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
0 ) )
119, 10breq12d 3910 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( N  -  0 ) ) )
1211imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) ) )
13 fveq2 5387 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
14 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  k ) )
1513, 14breq12d 3910 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k )
) )
1615imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) ) ) )
17 fveq2 5387 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
18 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
1917, 18breq12d 3910 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
21 fveq2 5387 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( F `  m )  =  ( F `  N ) )
22 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
2321, 22breq12d 3910 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
2423imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) ) ) )
251, 8eqbrtrrd 3920 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  N )
267recnd 7758 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2726subid1d 8026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
2825, 27breqtrrd 3924 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) )
2928a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) )
30 nn0re 8940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
31 posdif 8181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3230, 7, 31syl2anr 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k )
) )
3332adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
34 breq1 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3534adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
36 peano2nn0 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
37 ffvelrn 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
382, 36, 37syl2an 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
3938nn0zd 9125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
406nn0zd 9125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
41 nn0z 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
42 zsubcl 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
4340, 41, 42syl2an 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
44 zltlem1 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( N  -  k
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  < 
( N  -  k
)  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
4539, 43, 44syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
46 nn0cn 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
47 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
48 subsub4 7959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  -  k
)  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
4947, 48mp3an3 1287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5026, 46, 49syl2an 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )
5150breq2d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( N  -  k )  - 
1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5245, 51bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5352adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5433, 35, 533bitr2d 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5554biimpa 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  /\  k  <  N )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5655an32s 540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5756a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
5938nn0red 8985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
602ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  NN0 )
6160nn0red 8985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6243zred 9127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  RR )
63 ltletr 7817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( N  -  k )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )
) )
6459, 61, 62, 63syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k ) ) )
6564, 52sylibd 148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6658, 65syland 289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6766adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6867expdimp 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6939adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
70 0zd 9020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  0  e.  ZZ )
71 zdceq 9080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )
7269, 70, 71syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  -> DECID  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  0 )
73 dcne 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  (DECID  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  0  <->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  0  \/  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =/=  0 ) )
7472, 73sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  =  0  \/  ( F `  (
k  +  1 ) )  =/=  0 ) )
7557, 68, 74mpjaodan 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( N  -  k )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7675anasss 394 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  k  < 
N ) )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7776expcom 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ph  ->  ( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7877a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ( ph  ->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( ph  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( N  -  (
k  +  1 ) ) ) ) )
79783adant1 982 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0  /\  k  <  N )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 k )  <_ 
( N  -  k
) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
8012, 16, 20, 24, 29, 79fnn0ind 9121 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  N  <_  N )  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
816, 6, 8, 80syl3anc 1199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N
) ) )
8281pm2.43i 49 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) )
8326subidd 8025 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
8482, 83breqtrd 3922 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  0 )
852, 6ffvelrnd 5522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  NN0 )
8685nn0ge0d 8987 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  N ) )
8785nn0red 8985 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
88 0re 7730 . . 3  |-  0  e.  RR
89 letri3 7809 . . 3  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
9087, 88, 89sylancl 407 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
9184, 86, 90mpbir2and 911 1  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   class class class wbr 3897   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   NN0cn0 8931   ZZcz 9008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009
This theorem is referenced by:  algcvg  11636
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