Theorem nn0seqcvgd 11995

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term N reaches zero by the N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	|- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2	|- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
nn0seqcvgd.3	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	|- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
3		0nn0 9150	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
4		ffvelrn 5629	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
5	2, 3, 4	sylancl 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
6	1, 5	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
7	6	nn0red 9189	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
8	7	leidd 8433	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ N )
9		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( F ` m ) = ( F ` 0 ) )
10		oveq2 5861	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( N - m ) = ( N - 0 ) )
11	9, 10	breq12d 4002	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
12	11	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) ) )
13		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
14		oveq2 5861	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( N - m ) = ( N - k ) )
15	13, 14	breq12d 4002	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) )
16	15	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) ) )
17		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18		oveq2 5861	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N - m ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
19	17, 18	breq12d 4002	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
20	19	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
21		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( F ` m ) = ( F ` N ) )
22		oveq2 5861	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( N - m ) = ( N - N ) )
23	21, 22	breq12d 4002	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
24	23	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) ) )
25	1, 8	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ N )
26	7	recnd 7948	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. CC )
27	26	subid1d 8219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 0 ) = N )
28	25, 27	breqtrrd 4017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) )
29	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
30		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
31		posdif 8374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
32	30, 7, 31	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
34		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
36		peano2nn0 9175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
37		ffvelrn 5629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
38	2, 36, 37	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
39	38	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
40	6	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. ZZ )
41		nn0z 9232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
42		zsubcl 9253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N - k ) e. ZZ )
43	40, 41, 42	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. ZZ )
44		zltlem1 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - k ) e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
45	39, 43, 44	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
46		nn0cn 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
47		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
48		subsub4 8152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	mp3an3 1321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
50	26, 46, 49	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
51	50	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
53	52	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
54	33, 35, 53	3bitr2d 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
55	54	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
56	55	an32s 563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
57	56	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )
59	38	nn0red 9189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
60	2	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. NN0 )
61	60	nn0red 9189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	43	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. RR )
63		ltletr 8009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( F ` k ) e. RR /\ ( N - k ) e. RR ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
65	64, 52	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
66	58, 65	syland 291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
67	66	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
68	67	expdimp 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
69	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
70		0zd 9224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> 0 e. ZZ )
71		zdceq 9287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 )
72	69, 70, 71	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 )
73		dcne 2351	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 \/ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
74	72, 73	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 \/ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
75	57, 68, 74	mpjaodan 793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
76	75	anasss 397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ k < N ) ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
77	76	expcom 115	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
78	77	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
79	78	3adant1 1010	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
80	12, 16, 20, 24, 29, 79	fnn0ind 9328	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. NN0 /\ N <_ N ) -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
81	6, 6, 8, 80	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
82	81	pm2.43i 49	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) )
83	26	subidd 8218	. . 3 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
84	82, 83	breqtrd 4015	. 2 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ 0 )
85	2, 6	ffvelrnd 5632	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. NN0 )
86	85	nn0ge0d 9191	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` N ) )
87	85	nn0red 9189	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
88		0re 7920	. . 3 |- 0 e. RR
89		letri3 8000	. . 3 |- ( ( ( F ` N ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
90	87, 88, 89	sylancl 411	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
91	84, 86, 90	mpbir2and 939	1 |- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   class class class wbr 3989   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  algcvg  12002