Theorem tpossym 6173

Description: Two ways to say a function is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpossym	⊢ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐴) → (tpos 𝐹 = 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem tpossym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposfn 6170	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐴) → tpos 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐴))
2		eqfnov2 5878	. . 3 ⊢ ((tpos 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐴)) → (tpos 𝐹 = 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥tpos 𝐹𝑦) = (𝑥𝐹𝑦)))
3	1, 2	mpancom 418	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐴) → (tpos 𝐹 = 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥tpos 𝐹𝑦) = (𝑥𝐹𝑦)))
4		eqcom 2141	. . . 4 ⊢ ((𝑥tpos 𝐹𝑦) = (𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝑥𝐹𝑦) = (𝑥tpos 𝐹𝑦))
5		vex 2689	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2689	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
7		ovtposg 6156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥tpos 𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
8	5, 6, 7	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥)
9	8	eqeq2i 2150	. . . 4 ⊢ ((𝑥𝐹𝑦) = (𝑥tpos 𝐹𝑦) ↔ (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
10	4, 9	bitri 183	. . 3 ⊢ ((𝑥tpos 𝐹𝑦) = (𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
11	10	2ralbii 2443	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥tpos 𝐹𝑦) = (𝑥𝐹𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
12	3, 11	syl6bb 195	1 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐴) → (tpos 𝐹 = 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686   × cxp 4537   Fn wfn 5118  (class class class)co 5774  tpos ctpos 6141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fo 5129  df-fv 5131  df-ov 5777  df-tpos 6142

This theorem is referenced by:  xmettpos  12539