Theorem xmettpos 12298

Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettpos	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> tpos D = D )

Proof of Theorem xmettpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetsym 12296	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
2	1	3expb 1150	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
3	2	ralrimivva 2473	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) )
4		xmetf 12278	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
5		ffn 5208	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> D Fn ( X X. X ) )
6		tpossym 6103	. . 3 |- ( D Fn ( X X. X ) -> (tpos D = D <-> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) ) )
7	4, 5, 6	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> (tpos D = D <-> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) ) )
8	3, 7	mpbird 166	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> tpos D = D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   X. cxp 4475   Fn wfn 5054   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706  tpos ctpos 6071   RR*cxr 7671   *Metcxmet 11931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1re 7589  ax-addrcl 7592  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-apti 7610

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fo 5065  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-tpos 6072  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-xadd 9401  df-xmet 11939

This theorem is referenced by: (None)