Theorem xmettpos 13763

Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettpos	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> tpos D = D )

Proof of Theorem xmettpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetsym 13761	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
2	1	3expb 1204	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
3	2	ralrimivva 2559	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) )
4		xmetf 13743	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
5		ffn 5365	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> D Fn ( X X. X ) )
6		tpossym 6276	. . 3 |- ( D Fn ( X X. X ) -> (tpos D = D <-> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) ) )
7	4, 5, 6	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> (tpos D = D <-> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) ) )
8	3, 7	mpbird 167	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> tpos D = D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   X. cxp 4624   Fn wfn 5211   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874  tpos ctpos 6244   RR*cxr 7989   *Metcxmet 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-apti 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fo 5222  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-tpos 6245  df-map 6649  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-xadd 9771  df-xmet 13339

This theorem is referenced by: (None)