Theorem xmettpos 15044

Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettpos	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> tpos D = D )

Proof of Theorem xmettpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetsym 15042	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
2	1	3expb 1228	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
3	2	ralrimivva 2612	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) )
4		xmetf 15024	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
5		ffn 5473	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> D Fn ( X X. X ) )
6		tpossym 6422	. . 3 |- ( D Fn ( X X. X ) -> (tpos D = D <-> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) ) )
7	4, 5, 6	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> (tpos D = D <-> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) ) )
8	3, 7	mpbird 167	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> tpos D = D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   X. cxp 4717   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001  tpos ctpos 6390   RR*cxr 8180   *Metcxmet 14500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-apti 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-tpos 6391  df-map 6797  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-xadd 9969  df-xmet 14508

This theorem is referenced by: (None)