Theorem xmettpos 13955

Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettpos	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> tpos D = D )

Proof of Theorem xmettpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetsym 13953	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
2	1	3expb 1204	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
3	2	ralrimivva 2559	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) )
4		xmetf 13935	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
5		ffn 5367	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> D Fn ( X X. X ) )
6		tpossym 6279	. . 3 |- ( D Fn ( X X. X ) -> (tpos D = D <-> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) ) )
7	4, 5, 6	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> (tpos D = D <-> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) = ( y D x ) ) )
8	3, 7	mpbird 167	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> tpos D = D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   X. cxp 4626   Fn wfn 5213   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  tpos ctpos 6247   RR*cxr 7993   *Metcxmet 13525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-apti 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fo 5224  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-tpos 6248  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-xadd 9775  df-xmet 13533

This theorem is referenced by: (None)