ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettpos Unicode version

Theorem xmettpos 13763
Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettpos  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  -> tpos  D  =  D )

Proof of Theorem xmettpos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetsym 13761 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
213expb 1204 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x D y )  =  ( y D x ) )
32ralrimivva 2559 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( y D x ) )
4 xmetf 13743 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
5 ffn 5365 . . 3  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
6 tpossym 6276 . . 3  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  ->  (tpos  D  =  D  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( y D x ) ) )
74, 5, 63syl 17 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (tpos  D  =  D  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( y D x ) ) )
83, 7mpbird 167 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  -> tpos  D  =  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    X. cxp 4624    Fn wfn 5211   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874  tpos ctpos 6244   RR*cxr 7989   *Metcxmet 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-apti 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fo 5222  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-tpos 6245  df-map 6649  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-xadd 9771  df-xmet 13339
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator