Theorem tpspropd 15137

Description: A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpspropd.1	|- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
tpspropd.2	|- ( ph -> ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` L ) )

Assertion

Ref	Expression
tpspropd	|- ( ph -> ( K e. TopSp <-> L e. TopSp ) )

Proof of Theorem tpspropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpspropd.2	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` L ) )
2		tpspropd.1	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
3	2	fveq2d 5699	. . 3 |- ( ph -> (TopOn ` ( Base ` K ) ) = (TopOn ` ( Base ` L ) ) )
4	1, 3	eleq12d 2309	. 2 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) <-> ( TopOpen ` L ) e. (TopOn ` ( Base ` L ) ) ) )
5		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
6		eqid 2238	. . 3 |- ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` K )
7	5, 6	istps 15133	. 2 |- ( K e. TopSp <-> ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
8		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
9		eqid 2238	. . 3 |- ( TopOpen ` L ) = ( TopOpen ` L )
10	8, 9	istps 15133	. 2 |- ( L e. TopSp <-> ( TopOpen ` L ) e. (TopOn ` ( Base ` L ) ) )
11	4, 7, 10	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. TopSp <-> L e. TopSp ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Basecbs 13352   TopOpenctopn 13594  TopOnctopon 15111   TopSpctps 15131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-tset 13450  df-rest 13595  df-topn 13596  df-top 15099  df-topon 15112  df-topsp 15132

This theorem is used by:  xmspropd  15578