Theorem tpspropd 12828

Description: A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpspropd.1	|- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
tpspropd.2	|- ( ph -> ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` L ) )

Assertion

Ref	Expression
tpspropd	|- ( ph -> ( K e. TopSp <-> L e. TopSp ) )

Proof of Theorem tpspropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpspropd.2	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` L ) )
2		tpspropd.1	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
3	2	fveq2d 5500	. . 3 |- ( ph -> (TopOn ` ( Base ` K ) ) = (TopOn ` ( Base ` L ) ) )
4	1, 3	eleq12d 2241	. 2 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) <-> ( TopOpen ` L ) e. (TopOn ` ( Base ` L ) ) ) )
5		eqid 2170	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
6		eqid 2170	. . 3 |- ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` K )
7	5, 6	istps 12824	. 2 |- ( K e. TopSp <-> ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
8		eqid 2170	. . 3 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
9		eqid 2170	. . 3 |- ( TopOpen ` L ) = ( TopOpen ` L )
10	8, 9	istps 12824	. 2 |- ( L e. TopSp <-> ( TopOpen ` L ) e. (TopOn ` ( Base ` L ) ) )
11	4, 7, 10	3bitr4g 222	1 |- ( ph -> ( K e. TopSp <-> L e. TopSp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5198   Basecbs 12416   TopOpenctopn 12580  TopOnctopon 12802   TopSpctps 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-tset 12499  df-rest 12581  df-topn 12582  df-top 12790  df-topon 12803  df-topsp 12823

This theorem is referenced by:  xmspropd  13271