Theorem tpspropd 14759

Description: A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpspropd.1	|- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
tpspropd.2	|- ( ph -> ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` L ) )

Assertion

Ref	Expression
tpspropd	|- ( ph -> ( K e. TopSp <-> L e. TopSp ) )

Proof of Theorem tpspropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpspropd.2	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` L ) )
2		tpspropd.1	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
3	2	fveq2d 5643	. . 3 |- ( ph -> (TopOn ` ( Base ` K ) ) = (TopOn ` ( Base ` L ) ) )
4	1, 3	eleq12d 2302	. 2 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) <-> ( TopOpen ` L ) e. (TopOn ` ( Base ` L ) ) ) )
5		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
6		eqid 2231	. . 3 |- ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` K )
7	5, 6	istps 14755	. 2 |- ( K e. TopSp <-> ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
8		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
9		eqid 2231	. . 3 |- ( TopOpen ` L ) = ( TopOpen ` L )
10	8, 9	istps 14755	. 2 |- ( L e. TopSp <-> ( TopOpen ` L ) e. (TopOn ` ( Base ` L ) ) )
11	4, 7, 10	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. TopSp <-> L e. TopSp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   Basecbs 13081   TopOpenctopn 13322  TopOnctopon 14733   TopSpctps 14753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-tset 13178  df-rest 13323  df-topn 13324  df-top 14721  df-topon 14734  df-topsp 14754

This theorem is referenced by:  xmspropd  15200