Theorem tpspropd 14893

Description: A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpspropd.1	⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
tpspropd.2	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
tpspropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐿 ∈ TopSp))

Proof of Theorem tpspropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpspropd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
2		tpspropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
3	2	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘(Base‘𝐾)) = (TopOn‘(Base‘𝐿)))
4	1, 3	eleq12d 2303	. 2 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) ↔ (TopOpen‘𝐿) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐿))))
5		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2232	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
7	5, 6	istps 14889	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
8		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
9		eqid 2232	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐿) = (TopOpen‘𝐿)
10	8, 9	istps 14889	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐿) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐿)))
11	4, 7, 10	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐿 ∈ TopSp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  Basecbs 13204  TopOpenctopn 13445  TopOnctopon 14867  TopSpctps 14887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-tset 13301  df-rest 13446  df-topn 13447  df-top 14855  df-topon 14868  df-topsp 14888

This theorem is referenced by:  xmspropd  15334