Theorem tsettps 11987

Description: If the topology component is already correctly truncated, then it forms a topological space (with the topology extractor function coming out the same as the component). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	|- A = ( Base ` K )
tsettps.j	|- J = (TopSet ` K )

Assertion

Ref	Expression
tsettps	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Proof of Theorem tsettps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsettps.a	. . . 4 |- A = ( Base ` K )
2		tsettps.j	. . . 4 |- J = (TopSet ` K )
3	1, 2	topontopn 11986	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )
4		id 19	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J e. (TopOn ` A ) )
5	3, 4	eqeltrrd 2177	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` A ) )
6		eqid 2100	. . 3 |- ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` K )
7	1, 6	istps 11981	. 2 |- ( K e. TopSp <-> ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` A ) )
8	5, 7	sylibr 133	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1299   e. wcel 1448   ` cfv 5059   Basecbs 11741  TopSetcts 11809   TopOpenctopn 11903  TopOnctopon 11959   TopSpctps 11979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1re 7589  ax-addrcl 7592

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-7 8642  df-8 8643  df-9 8644  df-ndx 11744  df-slot 11745  df-base 11747  df-tset 11822  df-rest 11904  df-topn 11905  df-top 11947  df-topon 11960  df-topsp 11980

This theorem is referenced by:  eltpsg  11989