Theorem tsettps 12205

Description: If the topology component is already correctly truncated, then it forms a topological space (with the topology extractor function coming out the same as the component). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	|- A = ( Base ` K )
tsettps.j	|- J = (TopSet ` K )

Assertion

Ref	Expression
tsettps	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Proof of Theorem tsettps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsettps.a	. . . 4 |- A = ( Base ` K )
2		tsettps.j	. . . 4 |- J = (TopSet ` K )
3	1, 2	topontopn 12204	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )
4		id 19	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J e. (TopOn ` A ) )
5	3, 4	eqeltrrd 2217	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` A ) )
6		eqid 2139	. . 3 |- ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` K )
7	1, 6	istps 12199	. 2 |- ( K e. TopSp <-> ( TopOpen ` K ) e. (TopOn ` A ) )
8	5, 7	sylibr 133	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5123   Basecbs 11959  TopSetcts 12027   TopOpenctopn 12121  TopOnctopon 12177   TopSpctps 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-tset 12040  df-rest 12122  df-topn 12123  df-top 12165  df-topon 12178  df-topsp 12198

This theorem is referenced by:  eltpsg  12207