Theorem tsettps 14274

Description: If the topology component is already correctly truncated, then it forms a topological space (with the topology extractor function coming out the same as the component). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tsettps	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem tsettps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsettps.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
2		tsettps.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
3	1, 2	topontopn 14273	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
5	3, 4	eqeltrrd 2274	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘𝐴))
6		eqid 2196	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
7	1, 6	istps 14268	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘𝐴))
8	5, 7	sylibr 134	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  Basecbs 12678  TopSetcts 12761  TopOpenctopn 12911  TopOnctopon 14246  TopSpctps 14266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-tset 12774  df-rest 12912  df-topn 12913  df-top 14234  df-topon 14247  df-topsp 14267

This theorem is referenced by:  eltpsg  14276