Theorem tsettps 12830

Description: If the topology component is already correctly truncated, then it forms a topological space (with the topology extractor function coming out the same as the component). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tsettps	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem tsettps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsettps.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
2		tsettps.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
3	1, 2	topontopn 12829	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
5	3, 4	eqeltrrd 2248	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘𝐴))
6		eqid 2170	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
7	1, 6	istps 12824	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘𝐴))
8	5, 7	sylibr 133	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5198  Basecbs 12416  TopSetcts 12486  TopOpenctopn 12580  TopOnctopon 12802  TopSpctps 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-tset 12499  df-rest 12581  df-topn 12582  df-top 12790  df-topon 12803  df-topsp 12823

This theorem is referenced by:  eltpsg  12832