Theorem eltpsg 14954

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }

Assertion

Ref	Expression
eltpsg	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Proof of Theorem eltpsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponmax 14939	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A e. J )
2		eltpsi.k	. . . . . 6 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
3		df-tset 13330	. . . . . 6 |- TopSet = Slot 9
4		1lt9 9447	. . . . . 6 |- 1 < 9
5		9nn 9411	. . . . . 6 |- 9 e. NN
6	2, 3, 4, 5	2stropg 13355	. . . . 5 |- ( ( A e. J /\ J e. (TopOn ` A ) ) -> J = (TopSet ` K ) )
7	1, 6	mpancom 422	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = (TopSet ` K ) )
8	2, 3, 4, 5	2strbasg 13354	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ J e. (TopOn ` A ) ) -> A = ( Base ` K ) )
9	1, 8	mpancom 422	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = ( Base ` K ) )
10	9	fveq2d 5676	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> (TopOn ` A ) = (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
11	7, 10	eleq12d 2305	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> ( J e. (TopOn ` A ) <-> (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) ) )
12	11	ibi 176	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
13		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14		eqid 2234	. . 3 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
15	13, 14	tsettps 14952	. 2 |- ( (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) -> K e. TopSp )
16	12, 15	syl 14	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cpr 3692   <.cop 3694   ` cfv 5354   9c9 9300   ndxcnx 13230   Basecbs 13233  TopSetcts 13317  TopOnctopon 14924   TopSpctps 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-tset 13330  df-rest 13475  df-topn 13476  df-top 14912  df-topon 14925  df-topsp 14945

This theorem is referenced by:  eltpsi  14955  stoig  15087