Theorem eltpsg 15034

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }

Assertion

Ref	Expression
eltpsg	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Proof of Theorem eltpsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponmax 15019	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A e. J )
2		eltpsi.k	. . . . . 6 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
3		df-tset 13396	. . . . . 6 |- TopSet = Slot 9
4		1lt9 9462	. . . . . 6 |- 1 < 9
5		9nn 9426	. . . . . 6 |- 9 e. NN
6	2, 3, 4, 5	2stropg 13421	. . . . 5 |- ( ( A e. J /\ J e. (TopOn ` A ) ) -> J = (TopSet ` K ) )
7	1, 6	mpancom 422	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = (TopSet ` K ) )
8	2, 3, 4, 5	2strbasg 13420	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ J e. (TopOn ` A ) ) -> A = ( Base ` K ) )
9	1, 8	mpancom 422	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = ( Base ` K ) )
10	9	fveq2d 5679	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> (TopOn ` A ) = (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
11	7, 10	eleq12d 2305	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> ( J e. (TopOn ` A ) <-> (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) ) )
12	11	ibi 176	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
13		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14		eqid 2234	. . 3 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
15	13, 14	tsettps 15032	. 2 |- ( (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) -> K e. TopSp )
16	12, 15	syl 14	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cpr 3695   <.cop 3697   ` cfv 5357   9c9 9315   ndxcnx 13296   Basecbs 13299  TopSetcts 13383  TopOnctopon 15004   TopSpctps 15024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-tset 13396  df-rest 13541  df-topn 13542  df-top 14992  df-topon 15005  df-topsp 15025

This theorem is referenced by:  eltpsi  15035  stoig  15167