ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltpsg Unicode version

Theorem eltpsg 14025
Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eltpsi.k  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
eltpsg  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  TopSp
)

Proof of Theorem eltpsg
StepHypRef Expression
1 toponmax 14010 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  J )
2 eltpsi.k . . . . . 6  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
3 df-tset 12619 . . . . . 6  |- TopSet  = Slot  9
4 1lt9 9158 . . . . . 6  |-  1  <  9
5 9nn 9122 . . . . . 6  |-  9  e.  NN
62, 3, 4, 52stropg 12643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  J  /\  J  e.  (TopOn `  A
) )  ->  J  =  (TopSet `  K )
)
71, 6mpancom 422 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  (TopSet `  K ) )
82, 3, 4, 52strbasg 12642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  J  /\  J  e.  (TopOn `  A
) )  ->  A  =  ( Base `  K
) )
91, 8mpancom 422 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  =  ( Base `  K )
)
109fveq2d 5541 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  (TopOn `  A
)  =  (TopOn `  ( Base `  K )
) )
117, 10eleq12d 2260 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( J  e.  (TopOn `  A )  <->  (TopSet `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K
) ) ) )
1211ibi 176 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  (TopSet `  K
)  e.  (TopOn `  ( Base `  K )
) )
13 eqid 2189 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
14 eqid 2189 . . 3  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
1513, 14tsettps 14023 . 2  |-  ( (TopSet `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K
) )  ->  K  e.  TopSp )
1612, 15syl 14 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  TopSp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160   {cpr 3611   <.cop 3613   ` cfv 5238   9c9 9012   ndxcnx 12520   Basecbs 12523  TopSetcts 12606  TopOnctopon 13995   TopSpctps 14015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-tset 12619  df-rest 12757  df-topn 12758  df-top 13983  df-topon 13996  df-topsp 14016
This theorem is referenced by:  eltpsi  14026  stoig  14158
  Copyright terms: Public domain W3C validator