ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltpsg Unicode version

Theorem eltpsg 11989
Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eltpsi.k  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
eltpsg  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  TopSp
)

Proof of Theorem eltpsg
StepHypRef Expression
1 toponmax 11974 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  J )
2 eltpsi.k . . . . . 6  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
3 df-tset 11822 . . . . . 6  |- TopSet  = Slot  9
4 1lt9 8776 . . . . . 6  |-  1  <  9
5 9nn 8740 . . . . . 6  |-  9  e.  NN
62, 3, 4, 52stropg 11843 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  J  /\  J  e.  (TopOn `  A
) )  ->  J  =  (TopSet `  K )
)
71, 6mpancom 416 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  (TopSet `  K ) )
82, 3, 4, 52strbasg 11842 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  J  /\  J  e.  (TopOn `  A
) )  ->  A  =  ( Base `  K
) )
91, 8mpancom 416 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  =  ( Base `  K )
)
109fveq2d 5357 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  (TopOn `  A
)  =  (TopOn `  ( Base `  K )
) )
117, 10eleq12d 2170 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( J  e.  (TopOn `  A )  <->  (TopSet `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K
) ) ) )
1211ibi 175 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  (TopSet `  K
)  e.  (TopOn `  ( Base `  K )
) )
13 eqid 2100 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
14 eqid 2100 . . 3  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
1513, 14tsettps 11987 . 2  |-  ( (TopSet `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K
) )  ->  K  e.  TopSp )
1612, 15syl 14 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  TopSp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1299    e. wcel 1448   {cpr 3475   <.cop 3477   ` cfv 5059   9c9 8636   ndxcnx 11738   Basecbs 11741  TopSetcts 11809  TopOnctopon 11959   TopSpctps 11979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-ltxr 7677  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-7 8642  df-8 8643  df-9 8644  df-ndx 11744  df-slot 11745  df-base 11747  df-tset 11822  df-rest 11904  df-topn 11905  df-top 11947  df-topon 11960  df-topsp 11980
This theorem is referenced by:  eltpsi  11990  stoig  12124
  Copyright terms: Public domain W3C validator