Theorem eltpsg 13625

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }

Assertion

Ref	Expression
eltpsg	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Proof of Theorem eltpsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponmax 13610	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A e. J )
2		eltpsi.k	. . . . . 6 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
3		df-tset 12557	. . . . . 6 |- TopSet = Slot 9
4		1lt9 9125	. . . . . 6 |- 1 < 9
5		9nn 9089	. . . . . 6 |- 9 e. NN
6	2, 3, 4, 5	2stropg 12581	. . . . 5 |- ( ( A e. J /\ J e. (TopOn ` A ) ) -> J = (TopSet ` K ) )
7	1, 6	mpancom 422	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = (TopSet ` K ) )
8	2, 3, 4, 5	2strbasg 12580	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ J e. (TopOn ` A ) ) -> A = ( Base ` K ) )
9	1, 8	mpancom 422	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = ( Base ` K ) )
10	9	fveq2d 5521	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> (TopOn ` A ) = (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
11	7, 10	eleq12d 2248	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> ( J e. (TopOn ` A ) <-> (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) ) )
12	11	ibi 176	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
13		eqid 2177	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14		eqid 2177	. . 3 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
15	13, 14	tsettps 13623	. 2 |- ( (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) -> K e. TopSp )
16	12, 15	syl 14	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cpr 3595   <.cop 3597   ` cfv 5218   9c9 8979   ndxcnx 12461   Basecbs 12464  TopSetcts 12544  TopOnctopon 13595   TopSpctps 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-tset 12557  df-rest 12695  df-topn 12696  df-top 13583  df-topon 13596  df-topsp 13616

This theorem is referenced by:  eltpsi  13626  stoig  13758