Theorem eltpsg 14025

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }

Assertion

Ref	Expression
eltpsg	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Proof of Theorem eltpsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponmax 14010	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A e. J )
2		eltpsi.k	. . . . . 6 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
3		df-tset 12619	. . . . . 6 |- TopSet = Slot 9
4		1lt9 9158	. . . . . 6 |- 1 < 9
5		9nn 9122	. . . . . 6 |- 9 e. NN
6	2, 3, 4, 5	2stropg 12643	. . . . 5 |- ( ( A e. J /\ J e. (TopOn ` A ) ) -> J = (TopSet ` K ) )
7	1, 6	mpancom 422	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = (TopSet ` K ) )
8	2, 3, 4, 5	2strbasg 12642	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ J e. (TopOn ` A ) ) -> A = ( Base ` K ) )
9	1, 8	mpancom 422	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = ( Base ` K ) )
10	9	fveq2d 5541	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> (TopOn ` A ) = (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
11	7, 10	eleq12d 2260	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> ( J e. (TopOn ` A ) <-> (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) ) )
12	11	ibi 176	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) )
13		eqid 2189	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14		eqid 2189	. . 3 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
15	13, 14	tsettps 14023	. 2 |- ( (TopSet ` K ) e. (TopOn ` ( Base ` K ) ) -> K e. TopSp )
16	12, 15	syl 14	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cpr 3611   <.cop 3613   ` cfv 5238   9c9 9012   ndxcnx 12520   Basecbs 12523  TopSetcts 12606  TopOnctopon 13995   TopSpctps 14015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-tset 12619  df-rest 12757  df-topn 12758  df-top 13983  df-topon 13996  df-topsp 14016

This theorem is referenced by:  eltpsi  14026  stoig  14158