Theorem xnn0add4d 9952

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 9951. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnn0add4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0*)

Assertion

Ref	Expression
xnn0add4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xnn0add4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0add4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
2		xnn0xrnemnf 9315	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xnn0add4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0*)
5		xnn0xrnemnf 9315	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
7		xnn0add4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0*)
8		xnn0xrnemnf 9315	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0* → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
10		xnn0add4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0*)
11		xnn0xrnemnf 9315	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0* → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
13	3, 6, 9, 12	xadd4d 9951	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  (class class class)co 5918  -∞cmnf 8052  ℝ^*cxr 8053  ℕ₀^*cxnn0 9303   +_𝑒 cxad 9836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-rnegex 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-inn 8983  df-n0 9241  df-xnn0 9304  df-xadd 9839

This theorem is referenced by: (None)