Theorem xnn0add4d 9843

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 9842. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnn0add4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0*)

Assertion

Ref	Expression
xnn0add4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xnn0add4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0add4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
2		xnn0xrnemnf 9210	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xnn0add4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0*)
5		xnn0xrnemnf 9210	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
7		xnn0add4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0*)
8		xnn0xrnemnf 9210	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0* → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
10		xnn0add4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0*)
11		xnn0xrnemnf 9210	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0* → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
13	3, 6, 9, 12	xadd4d 9842	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  (class class class)co 5853  -∞cmnf 7952  ℝ^*cxr 7953  ℕ₀^*cxnn0 9198   +_𝑒 cxad 9727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-rnegex 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-inn 8879  df-n0 9136  df-xnn0 9199  df-xadd 9730

This theorem is referenced by: (None)