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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xleadd1a | Unicode version |
Description: Extended real version of
leadd1 8059; note that the converse implication is
not true, unlike the real version (for example ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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xleadd1a |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simplrr 506 |
. . . . . . 7
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2 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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3 | simplrl 505 |
. . . . . . 7
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4 | simpllr 504 |
. . . . . . 7
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5 | 1, 2, 3, 4 | leadd1dd 8187 |
. . . . . 6
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6 | 1, 3 | rexaddd 9478 |
. . . . . 6
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7 | 2, 3 | rexaddd 9478 |
. . . . . 6
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8 | 5, 6, 7 | 3brtr4d 3905 |
. . . . 5
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9 | simpl1 952 |
. . . . . . . . 9
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10 | simpl3 954 |
. . . . . . . . 9
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11 | xaddcl 9484 |
. . . . . . . . 9
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12 | 9, 10, 11 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | ad2antrr 475 |
. . . . . . 7
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14 | pnfge 9416 |
. . . . . . 7
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15 | 13, 14 | syl 14 |
. . . . . 6
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16 | oveq1 5713 |
. . . . . . 7
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17 | rexr 7683 |
. . . . . . . . 9
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18 | renemnf 7686 |
. . . . . . . . 9
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19 | xaddpnf2 9471 |
. . . . . . . . 9
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20 | 17, 18, 19 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | ad2antrl 477 |
. . . . . . 7
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22 | 16, 21 | sylan9eqr 2154 |
. . . . . 6
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23 | 15, 22 | breqtrrd 3901 |
. . . . 5
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24 | 12 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | xrleidd 9428 |
. . . . . . 7
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26 | simplr 500 |
. . . . . . . . 9
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27 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 9 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | mnfle 9419 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 28, 29 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 27, 30 | eqbrtrd 3895 |
. . . . . . . . 9
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32 | simpl2 953 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | xrletri3 9429 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 9, 32, 33 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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36 | 26, 31, 35 | mpbir2and 896 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | oveq1d 5721 |
. . . . . . 7
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38 | 25, 37 | breqtrd 3899 |
. . . . . 6
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39 | 38 | adantlr 464 |
. . . . 5
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40 | elxr 9404 |
. . . . . . 7
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41 | 32, 40 | sylib 121 |
. . . . . 6
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42 | 41 | adantr 272 |
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43 | 8, 23, 39, 42 | mpjao3dan 1253 |
. . . 4
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44 | 43 | anassrs 395 |
. . 3
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45 | 12 | adantr 272 |
. . . . . 6
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46 | 45 | xrleidd 9428 |
. . . . 5
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47 | simplr 500 |
. . . . . . 7
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48 | pnfge 9416 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 32, 48 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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51 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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52 | 50, 51 | breqtrrd 3901 |
. . . . . . 7
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53 | 34 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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54 | 47, 52, 53 | mpbir2and 896 |
. . . . . 6
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55 | 54 | oveq1d 5721 |
. . . . 5
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56 | 46, 55 | breqtrd 3899 |
. . . 4
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57 | 56 | adantlr 464 |
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58 | oveq1 5713 |
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59 | renepnf 7685 |
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60 | xaddmnf2 9473 |
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61 | 17, 59, 60 | syl2anc 406 |
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62 | 61 | adantl 273 |
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63 | 58, 62 | sylan9eqr 2154 |
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64 | xaddcl 9484 |
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65 | 32, 10, 64 | syl2anc 406 |
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66 | 65 | ad2antrr 475 |
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67 | mnfle 9419 |
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69 | 63, 68 | eqbrtrd 3895 |
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70 | elxr 9404 |
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71 | 9, 70 | sylib 121 |
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72 | 71 | adantr 272 |
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73 | 44, 57, 69, 72 | mpjao3dan 1253 |
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74 | 38 | adantlr 464 |
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75 | 12 | ad2antrr 475 |
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76 | 75, 14 | syl 14 |
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77 | simplr 500 |
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78 | 77 | oveq2d 5722 |
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79 | 32 | adantr 272 |
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80 | xaddpnf1 9470 |
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81 | 79, 80 | sylan 279 |
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82 | 78, 81 | eqtrd 2132 |
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83 | 76, 82 | breqtrrd 3901 |
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84 | xrmnfdc 9467 |
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85 | exmiddc 788 |
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86 | 84, 85 | syl 14 |
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87 | df-ne 2268 |
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88 | 87 | orbi2i 720 |
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89 | 86, 88 | sylibr 133 |
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91 | 74, 83, 90 | mpjaodan 753 |
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92 | 56 | adantlr 464 |
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93 | simplr 500 |
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94 | 93 | oveq2d 5722 |
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97 | 95, 96 | sylan 279 |
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98 | 94, 97 | eqtrd 2132 |
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99 | 65 | ad2antrr 475 |
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101 | 98, 100 | eqbrtrd 3895 |
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102 | xrpnfdc 9466 |
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103 | exmiddc 788 |
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106 | 105 | orbi2i 720 |
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107 | 104, 106 | sylibr 133 |
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108 | 95, 107 | syl 14 |
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109 | 92, 101, 108 | mpjaodan 753 |
. 2
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110 | elxr 9404 |
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111 | 10, 110 | sylib 121 |
. 2
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112 | 73, 91, 109, 111 | mpjao3dan 1253 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-addcom 7595 ax-addass 7597 ax-i2m1 7600 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-fv 5067 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-xadd 9401 |
This theorem is referenced by: xleadd2a 9498 xleadd1 9499 xaddge0 9502 xle2add 9503 xblss2ps 12332 xblss2 12333 |
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