ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleadd1a Unicode version

Theorem xleadd1a 9684
Description: Extended real version of leadd1 8214; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example  0  <  1 but  ( 1 +e +oo )  <_  ( 0 +e +oo )). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1a  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )

Proof of Theorem xleadd1a
StepHypRef Expression
1 simplrr 526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
3 simplrl 525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
4 simpllr 524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  B )
51, 2, 3, 4leadd1dd 8343 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
61, 3rexaddd 9665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
C )  =  ( A  +  C ) )
72, 3rexaddd 9665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B +e
C )  =  ( B  +  C ) )
85, 6, 73brtr4d 3966 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
9 simpl1 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR* )
10 simpl3 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  C  e.  RR* )
11 xaddcl 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
129, 10, 11syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
1312ad2antrr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e
C )  e.  RR* )
14 pnfge 9603 . . . . . . 7  |-  ( ( A +e C )  e.  RR*  ->  ( A +e C )  <_ +oo )
1513, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e
C )  <_ +oo )
16 oveq1 5787 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e C )  =  ( +oo +e C ) )
17 rexr 7833 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
18 renemnf 7836 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR  ->  C  =/= -oo )
19 xaddpnf2 9658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= -oo )  ->  ( +oo +e C )  = +oo )
2017, 18, 19syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR  ->  ( +oo +e C )  = +oo )
2120ad2antrl 482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( +oo +e C )  = +oo )
2216, 21sylan9eqr 2195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( B +e
C )  = +oo )
2315, 22breqtrrd 3962 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
2412adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
2524xrleidd 9615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( A +e C ) )
26 simplr 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  A  <_  B )
27 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  B  = -oo )
289adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  A  e. 
RR* )
29 mnfle 9606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  -> -oo  <_  A )
3127, 30eqbrtrd 3956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  B  <_  A )
32 simpl2 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
33 xrletri3 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
349, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
3534adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
3626, 31, 35mpbir2and 929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  A  =  B )
3736oveq1d 5795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  =  ( B +e C ) )
3825, 37breqtrd 3960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
3938adantlr 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
40 elxr 9591 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
4132, 40sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
4241adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
438, 23, 39, 42mpjao3dan 1286 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
4443anassrs 398 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
4512adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
4645xrleidd 9615 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( A +e C ) )
47 simplr 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  A  <_  B )
48 pnfge 9603 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
4932, 48syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  B  <_ +oo )
5049adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  B  <_ +oo )
51 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
5250, 51breqtrrd 3962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  B  <_  A )
5334adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
5447, 52, 53mpbir2and 929 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  A  =  B )
5554oveq1d 5795 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  =  ( B +e C ) )
5646, 55breqtrd 3960 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
5756adantlr 469 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
58 oveq1 5787 . . . . 5  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e C )  =  ( -oo +e C ) )
59 renepnf 7835 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  C  =/= +oo )
60 xaddmnf2 9660 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= +oo )  ->  ( -oo +e C )  = -oo )
6117, 59, 60syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  ( -oo +e C )  = -oo )
6261adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  e.  RR )  ->  ( -oo +e C )  = -oo )
6358, 62sylan9eqr 2195 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e C )  = -oo )
64 xaddcl 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
6532, 10, 64syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
6665ad2antrr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
67 mnfle 9606 . . . . 5  |-  ( ( B +e C )  e.  RR*  -> -oo 
<_  ( B +e
C ) )
6866, 67syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  ( B +e C ) )
6963, 68eqbrtrd 3956 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
70 elxr 9591 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
719, 70sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7271adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7344, 57, 69, 72mpjao3dan 1286 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  e.  RR )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
7438adantlr 469 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
7512ad2antrr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
7675, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( A +e C )  <_ +oo )
77 simplr 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  C  = +oo )
7877oveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e C )  =  ( B +e +oo ) )
7932adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = +oo )  ->  B  e. 
RR* )
80 xaddpnf1 9657 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
8179, 80sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
8278, 81eqtrd 2173 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e C )  = +oo )
8376, 82breqtrrd 3962 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
84 xrmnfdc 9654 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  -> DECID  B  = -oo )
85 exmiddc 822 . . . . . 6  |-  (DECID  B  = -oo  ->  ( B  = -oo  \/  -.  B  = -oo ) )
8684, 85syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  = -oo  \/  -.  B  = -oo )
)
87 df-ne 2310 . . . . . 6  |-  ( B  =/= -oo  <->  -.  B  = -oo )
8887orbi2i 752 . . . . 5  |-  ( ( B  = -oo  \/  B  =/= -oo )  <->  ( B  = -oo  \/  -.  B  = -oo ) )
8986, 88sylibr 133 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  = -oo  \/  B  =/= -oo ) )
9079, 89syl 14 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = +oo )  ->  ( B  = -oo  \/  B  =/= -oo ) )
9174, 83, 90mpjaodan 788 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
9256adantlr 469 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
93 simplr 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  C  = -oo )
9493oveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e C )  =  ( A +e -oo ) )
959adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = -oo )  ->  A  e. 
RR* )
96 xaddmnf1 9659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
9795, 96sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
9894, 97eqtrd 2173 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e C )  = -oo )
9965ad2antrr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
10099, 67syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  -> -oo  <_  ( B +e C ) )
10198, 100eqbrtrd 3956 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
102 xrpnfdc 9653 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  -> DECID  A  = +oo )
103 exmiddc 822 . . . . . 6  |-  (DECID  A  = +oo  ->  ( A  = +oo  \/  -.  A  = +oo ) )
104102, 103syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  \/  -.  A  = +oo )
)
105 df-ne 2310 . . . . . 6  |-  ( A  =/= +oo  <->  -.  A  = +oo )
106105orbi2i 752 . . . . 5  |-  ( ( A  = +oo  \/  A  =/= +oo )  <->  ( A  = +oo  \/  -.  A  = +oo ) )
107104, 106sylibr 133 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  \/  A  =/= +oo ) )
10895, 107syl 14 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = -oo )  ->  ( A  = +oo  \/  A  =/= +oo ) )
10992, 101, 108mpjaodan 788 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
110 elxr 9591 . . 3  |-  ( C  e.  RR*  <->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
11110, 110sylib 121 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
11273, 91, 109, 111mpjao3dan 1286 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    \/ w3o 962    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481    =/= wne 2309   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780   RRcr 7641    + caddc 7645   +oocpnf 7819   -oocmnf 7820   RR*cxr 7821    <_ cle 7823   +ecxad 9585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-i2m1 7747  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-if 3478  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-xadd 9588
This theorem is referenced by:  xleadd2a  9685  xleadd1  9686  xaddge0  9689  xle2add  9690  xblss2ps  12605  xblss2  12606
  Copyright terms: Public domain W3C validator