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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xleadd1a | Unicode version |
Description: Extended real version of
leadd1 8418; note that the converse implication is
not true, unlike the real version (for example ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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xleadd1a |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simplrr 536 |
. . . . . . 7
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2 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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3 | simplrl 535 |
. . . . . . 7
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4 | simpllr 534 |
. . . . . . 7
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5 | 1, 2, 3, 4 | leadd1dd 8547 |
. . . . . 6
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6 | 1, 3 | rexaddd 9886 |
. . . . . 6
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7 | 2, 3 | rexaddd 9886 |
. . . . . 6
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8 | 5, 6, 7 | 3brtr4d 4050 |
. . . . 5
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9 | simpl1 1002 |
. . . . . . . . 9
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10 | simpl3 1004 |
. . . . . . . . 9
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11 | xaddcl 9892 |
. . . . . . . . 9
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12 | 9, 10, 11 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | ad2antrr 488 |
. . . . . . 7
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14 | pnfge 9821 |
. . . . . . 7
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15 | 13, 14 | syl 14 |
. . . . . 6
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16 | oveq1 5904 |
. . . . . . 7
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17 | rexr 8034 |
. . . . . . . . 9
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18 | renemnf 8037 |
. . . . . . . . 9
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19 | xaddpnf2 9879 |
. . . . . . . . 9
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20 | 17, 18, 19 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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22 | 16, 21 | sylan9eqr 2244 |
. . . . . 6
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23 | 15, 22 | breqtrrd 4046 |
. . . . 5
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24 | 12 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | xrleidd 9833 |
. . . . . . 7
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26 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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27 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 9 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | mnfle 9824 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 28, 29 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 27, 30 | eqbrtrd 4040 |
. . . . . . . . 9
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32 | simpl2 1003 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | xrletri3 9836 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 9, 32, 33 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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36 | 26, 31, 35 | mpbir2and 946 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | oveq1d 5912 |
. . . . . . 7
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38 | 25, 37 | breqtrd 4044 |
. . . . . 6
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39 | 38 | adantlr 477 |
. . . . 5
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40 | elxr 9808 |
. . . . . . 7
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41 | 32, 40 | sylib 122 |
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42 | 41 | adantr 276 |
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43 | 8, 23, 39, 42 | mpjao3dan 1318 |
. . . 4
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44 | 43 | anassrs 400 |
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45 | 12 | adantr 276 |
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46 | 45 | xrleidd 9833 |
. . . . 5
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47 | simplr 528 |
. . . . . . 7
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48 | pnfge 9821 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 32, 48 | syl 14 |
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50 | 49 | adantr 276 |
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51 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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52 | 50, 51 | breqtrrd 4046 |
. . . . . . 7
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53 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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54 | 47, 52, 53 | mpbir2and 946 |
. . . . . 6
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55 | 54 | oveq1d 5912 |
. . . . 5
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56 | 46, 55 | breqtrd 4044 |
. . . 4
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57 | 56 | adantlr 477 |
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59 | renepnf 8036 |
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60 | xaddmnf2 9881 |
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61 | 17, 59, 60 | syl2anc 411 |
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62 | 61 | adantl 277 |
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63 | 58, 62 | sylan9eqr 2244 |
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64 | xaddcl 9892 |
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65 | 32, 10, 64 | syl2anc 411 |
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66 | 65 | ad2antrr 488 |
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67 | mnfle 9824 |
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69 | 63, 68 | eqbrtrd 4040 |
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70 | elxr 9808 |
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71 | 9, 70 | sylib 122 |
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72 | 71 | adantr 276 |
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73 | 44, 57, 69, 72 | mpjao3dan 1318 |
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74 | 38 | adantlr 477 |
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75 | 12 | ad2antrr 488 |
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77 | simplr 528 |
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78 | 77 | oveq2d 5913 |
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80 | xaddpnf1 9878 |
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81 | 79, 80 | sylan 283 |
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82 | 78, 81 | eqtrd 2222 |
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83 | 76, 82 | breqtrrd 4046 |
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84 | xrmnfdc 9875 |
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85 | exmiddc 837 |
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88 | 87 | orbi2i 763 |
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91 | 74, 83, 90 | mpjaodan 799 |
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92 | 56 | adantlr 477 |
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94 | 93 | oveq2d 5913 |
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98 | 94, 97 | eqtrd 2222 |
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101 | 98, 100 | eqbrtrd 4040 |
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103 | exmiddc 837 |
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106 | 105 | orbi2i 763 |
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107 | 104, 106 | sylibr 134 |
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109 | 92, 101, 108 | mpjaodan 799 |
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110 | elxr 9808 |
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111 | 10, 110 | sylib 122 |
. 2
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112 | 73, 91, 109, 111 | mpjao3dan 1318 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-addcom 7942 ax-addass 7944 ax-i2m1 7947 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-fv 5243 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-xadd 9805 |
This theorem is referenced by: xleadd2a 9906 xleadd1 9907 xaddge0 9910 xle2add 9911 xblss2ps 14381 xblss2 14382 |
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