Theorem xleadd1a 9942

Description: Extended real version of leadd1 8451; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example 0 < 1 but ( 1 +e +oo ) <_ ( 0 +e +oo )). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1a	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )

Proof of Theorem xleadd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> A e. RR )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> B e. RR )
3		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> C e. RR )
4		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> A <_ B )
5	1, 2, 3, 4	leadd1dd 8580	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A + C ) <_ ( B + C ) )
6	1, 3	rexaddd 9923	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e C ) = ( A + C ) )
7	2, 3	rexaddd 9923	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
8	5, 6, 7	3brtr4d 4062	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
9		simpl1 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> A e. RR* )
10		simpl3 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> C e. RR* )
11		xaddcl 9929	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) e. RR* )
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
14		pnfge 9858	. . . . . . 7 |- ( ( A +e C ) e. RR* -> ( A +e C ) <_ +oo )
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) <_ +oo )
16		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> ( B +e C ) = ( +oo +e C ) )
17		rexr 8067	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
18		renemnf 8070	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR -> C =/= -oo )
19		xaddpnf2 9916	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) -> ( +oo +e C ) = +oo )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( C e. RR -> ( +oo +e C ) = +oo )
21	20	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( +oo +e C ) = +oo )
22	16, 21	sylan9eqr 2248	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( B +e C ) = +oo )
23	15, 22	breqtrrd 4058	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
24	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
25	24	xrleidd 9870	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e C ) )
26		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A <_ B )
27		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> B = -oo )
28	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A e. RR* )
29		mnfle 9861	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> -oo <_ A )
31	27, 30	eqbrtrd 4052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> B <_ A )
32		simpl2 1003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
33		xrletri3 9873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
36	26, 31, 35	mpbir2and 946	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A = B )
37	36	oveq1d 5934	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) = ( B +e C ) )
38	25, 37	breqtrd 4056	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
39	38	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
40		elxr 9845	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
41	32, 40	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
42	41	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
43	8, 23, 39, 42	mpjao3dan 1318	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
44	43	anassrs 400	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
45	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
46	45	xrleidd 9870	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e C ) )
47		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A <_ B )
48		pnfge 9858	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
49	32, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> B <_ +oo )
50	49	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> B <_ +oo )
51		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
52	50, 51	breqtrrd 4058	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> B <_ A )
53	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
54	47, 52, 53	mpbir2and 946	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A = B )
55	54	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) = ( B +e C ) )
56	46, 55	breqtrd 4056	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
57	56	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
58		oveq1 5926	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( A +e C ) = ( -oo +e C ) )
59		renepnf 8069	. . . . . . 7 |- ( C e. RR -> C =/= +oo )
60		xaddmnf2 9918	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= +oo ) -> ( -oo +e C ) = -oo )
61	17, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( C e. RR -> ( -oo +e C ) = -oo )
62	61	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( -oo +e C ) = -oo )
63	58, 62	sylan9eqr 2248	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e C ) = -oo )
64		xaddcl 9929	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
65	32, 10, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( B +e C ) e. RR* )
66	65	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( B +e C ) e. RR* )
67		mnfle 9861	. . . . 5 |- ( ( B +e C ) e. RR* -> -oo <_ ( B +e C ) )
68	66, 67	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ ( B +e C ) )
69	63, 68	eqbrtrd 4052	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
70		elxr 9845	. . . . 5 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
71	9, 70	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
72	71	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
73	44, 57, 69, 72	mpjao3dan 1318	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
74	38	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
75	12	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
76	75, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) <_ +oo )
77		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> C = +oo )
78	77	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e C ) = ( B +e +oo ) )
79	32	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> B e. RR* )
80		xaddpnf1 9915	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
81	79, 80	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
82	78, 81	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e C ) = +oo )
83	76, 82	breqtrrd 4058	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
84		xrmnfdc 9912	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> DECID B = -oo )
85		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID B = -oo -> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
87		df-ne 2365	. . . . . 6 |- ( B =/= -oo <-> -. B = -oo )
88	87	orbi2i 763	. . . . 5 |- ( ( B = -oo \/ B =/= -oo ) <-> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
89	86, 88	sylibr 134	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( B = -oo \/ B =/= -oo ) )
90	79, 89	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> ( B = -oo \/ B =/= -oo ) )
91	74, 83, 90	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
92	56	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
93		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> C = -oo )
94	93	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) = ( A +e -oo ) )
95	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> A e. RR* )
96		xaddmnf1 9917	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
97	95, 96	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
98	94, 97	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) = -oo )
99	65	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( B +e C ) e. RR* )
100	99, 67	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> -oo <_ ( B +e C ) )
101	98, 100	eqbrtrd 4052	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
102		xrpnfdc 9911	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> DECID A = +oo )
103		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID A = +oo -> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
104	102, 103	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
105		df-ne 2365	. . . . . 6 |- ( A =/= +oo <-> -. A = +oo )
106	105	orbi2i 763	. . . . 5 |- ( ( A = +oo \/ A =/= +oo ) <-> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
107	104, 106	sylibr 134	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
108	95, 107	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
109	92, 101, 108	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
110		elxr 9845	. . 3 |- ( C e. RR* <-> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
111	10, 110	sylib 122	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
112	73, 91, 109, 111	mpjao3dan 1318	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   RRcr 7873   + caddc 7877   +oocpnf 8053   -oocmnf 8054   RR*cxr 8055   <_ cle 8057   +ecxad 9839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-xadd 9842

This theorem is referenced by:  xleadd2a  9943  xleadd1  9944  xaddge0  9947  xle2add  9948  xblss2ps  14583  xblss2  14584