Theorem xleadd1a 9656

Description: Extended real version of leadd1 8192; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example 0 < 1 but ( 1 +e +oo ) <_ ( 0 +e +oo )). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1a	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )

Proof of Theorem xleadd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> A e. RR )
2		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> B e. RR )
3		simplrl 524	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> C e. RR )
4		simpllr 523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> A <_ B )
5	1, 2, 3, 4	leadd1dd 8321	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A + C ) <_ ( B + C ) )
6	1, 3	rexaddd 9637	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e C ) = ( A + C ) )
7	2, 3	rexaddd 9637	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
8	5, 6, 7	3brtr4d 3960	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
9		simpl1 984	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> A e. RR* )
10		simpl3 986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> C e. RR* )
11		xaddcl 9643	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
12	9, 10, 11	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) e. RR* )
13	12	ad2antrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
14		pnfge 9575	. . . . . . 7 |- ( ( A +e C ) e. RR* -> ( A +e C ) <_ +oo )
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) <_ +oo )
16		oveq1 5781	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> ( B +e C ) = ( +oo +e C ) )
17		rexr 7811	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
18		renemnf 7814	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR -> C =/= -oo )
19		xaddpnf2 9630	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) -> ( +oo +e C ) = +oo )
20	17, 18, 19	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( C e. RR -> ( +oo +e C ) = +oo )
21	20	ad2antrl 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( +oo +e C ) = +oo )
22	16, 21	sylan9eqr 2194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( B +e C ) = +oo )
23	15, 22	breqtrrd 3956	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
24	12	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
25	24	xrleidd 9587	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e C ) )
26		simplr 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A <_ B )
27		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> B = -oo )
28	9	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A e. RR* )
29		mnfle 9578	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> -oo <_ A )
31	27, 30	eqbrtrd 3950	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> B <_ A )
32		simpl2 985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
33		xrletri3 9588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
34	9, 32, 33	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
35	34	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
36	26, 31, 35	mpbir2and 928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A = B )
37	36	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) = ( B +e C ) )
38	25, 37	breqtrd 3954	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
39	38	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
40		elxr 9563	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
41	32, 40	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
42	41	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
43	8, 23, 39, 42	mpjao3dan 1285	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
44	43	anassrs 397	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
45	12	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
46	45	xrleidd 9587	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e C ) )
47		simplr 519	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A <_ B )
48		pnfge 9575	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
49	32, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> B <_ +oo )
50	49	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> B <_ +oo )
51		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
52	50, 51	breqtrrd 3956	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> B <_ A )
53	34	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
54	47, 52, 53	mpbir2and 928	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A = B )
55	54	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) = ( B +e C ) )
56	46, 55	breqtrd 3954	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
57	56	adantlr 468	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
58		oveq1 5781	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( A +e C ) = ( -oo +e C ) )
59		renepnf 7813	. . . . . . 7 |- ( C e. RR -> C =/= +oo )
60		xaddmnf2 9632	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= +oo ) -> ( -oo +e C ) = -oo )
61	17, 59, 60	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( C e. RR -> ( -oo +e C ) = -oo )
62	61	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( -oo +e C ) = -oo )
63	58, 62	sylan9eqr 2194	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e C ) = -oo )
64		xaddcl 9643	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
65	32, 10, 64	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( B +e C ) e. RR* )
66	65	ad2antrr 479	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( B +e C ) e. RR* )
67		mnfle 9578	. . . . 5 |- ( ( B +e C ) e. RR* -> -oo <_ ( B +e C ) )
68	66, 67	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ ( B +e C ) )
69	63, 68	eqbrtrd 3950	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
70		elxr 9563	. . . . 5 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
71	9, 70	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
72	71	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
73	44, 57, 69, 72	mpjao3dan 1285	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
74	38	adantlr 468	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
75	12	ad2antrr 479	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
76	75, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) <_ +oo )
77		simplr 519	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> C = +oo )
78	77	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e C ) = ( B +e +oo ) )
79	32	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> B e. RR* )
80		xaddpnf1 9629	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
81	79, 80	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
82	78, 81	eqtrd 2172	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e C ) = +oo )
83	76, 82	breqtrrd 3956	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
84		xrmnfdc 9626	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> DECID B = -oo )
85		exmiddc 821	. . . . . 6 |- (DECID B = -oo -> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
87		df-ne 2309	. . . . . 6 |- ( B =/= -oo <-> -. B = -oo )
88	87	orbi2i 751	. . . . 5 |- ( ( B = -oo \/ B =/= -oo ) <-> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
89	86, 88	sylibr 133	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( B = -oo \/ B =/= -oo ) )
90	79, 89	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> ( B = -oo \/ B =/= -oo ) )
91	74, 83, 90	mpjaodan 787	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
92	56	adantlr 468	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
93		simplr 519	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> C = -oo )
94	93	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) = ( A +e -oo ) )
95	9	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> A e. RR* )
96		xaddmnf1 9631	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
97	95, 96	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
98	94, 97	eqtrd 2172	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) = -oo )
99	65	ad2antrr 479	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( B +e C ) e. RR* )
100	99, 67	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> -oo <_ ( B +e C ) )
101	98, 100	eqbrtrd 3950	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
102		xrpnfdc 9625	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> DECID A = +oo )
103		exmiddc 821	. . . . . 6 |- (DECID A = +oo -> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
104	102, 103	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
105		df-ne 2309	. . . . . 6 |- ( A =/= +oo <-> -. A = +oo )
106	105	orbi2i 751	. . . . 5 |- ( ( A = +oo \/ A =/= +oo ) <-> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
107	104, 106	sylibr 133	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
108	95, 107	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
109	92, 101, 108	mpjaodan 787	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
110		elxr 9563	. . 3 |- ( C e. RR* <-> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
111	10, 110	sylib 121	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
112	73, 91, 109, 111	mpjao3dan 1285	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   \/ w3o 961   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   + caddc 7623   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799   <_ cle 7801   +ecxad 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-xadd 9560

This theorem is referenced by:  xleadd2a  9657  xleadd1  9658  xaddge0  9661  xle2add  9662  xblss2ps  12573  xblss2  12574