Theorem xleadd1a 9995

Description: Extended real version of leadd1 8503; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example 0 < 1 but ( 1 +e +oo ) <_ ( 0 +e +oo )). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1a	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )

Proof of Theorem xleadd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> A e. RR )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> B e. RR )
3		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> C e. RR )
4		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> A <_ B )
5	1, 2, 3, 4	leadd1dd 8632	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A + C ) <_ ( B + C ) )
6	1, 3	rexaddd 9976	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e C ) = ( A + C ) )
7	2, 3	rexaddd 9976	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
8	5, 6, 7	3brtr4d 4076	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
9		simpl1 1003	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> A e. RR* )
10		simpl3 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> C e. RR* )
11		xaddcl 9982	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) e. RR* )
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
14		pnfge 9911	. . . . . . 7 |- ( ( A +e C ) e. RR* -> ( A +e C ) <_ +oo )
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) <_ +oo )
16		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> ( B +e C ) = ( +oo +e C ) )
17		rexr 8118	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
18		renemnf 8121	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR -> C =/= -oo )
19		xaddpnf2 9969	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) -> ( +oo +e C ) = +oo )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( C e. RR -> ( +oo +e C ) = +oo )
21	20	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( +oo +e C ) = +oo )
22	16, 21	sylan9eqr 2260	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( B +e C ) = +oo )
23	15, 22	breqtrrd 4072	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
24	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
25	24	xrleidd 9923	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e C ) )
26		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A <_ B )
27		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> B = -oo )
28	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A e. RR* )
29		mnfle 9914	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> -oo <_ A )
31	27, 30	eqbrtrd 4066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> B <_ A )
32		simpl2 1004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
33		xrletri3 9926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
36	26, 31, 35	mpbir2and 947	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> A = B )
37	36	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) = ( B +e C ) )
38	25, 37	breqtrd 4070	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
39	38	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
40		elxr 9898	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
41	32, 40	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
42	41	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
43	8, 23, 39, 42	mpjao3dan 1320	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ ( C e. RR /\ A e. RR ) ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
44	43	anassrs 400	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
45	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
46	45	xrleidd 9923	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e C ) )
47		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A <_ B )
48		pnfge 9911	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
49	32, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> B <_ +oo )
50	49	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> B <_ +oo )
51		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
52	50, 51	breqtrrd 4072	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> B <_ A )
53	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
54	47, 52, 53	mpbir2and 947	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> A = B )
55	54	oveq1d 5959	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) = ( B +e C ) )
56	46, 55	breqtrd 4070	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
57	56	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
58		oveq1 5951	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( A +e C ) = ( -oo +e C ) )
59		renepnf 8120	. . . . . . 7 |- ( C e. RR -> C =/= +oo )
60		xaddmnf2 9971	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= +oo ) -> ( -oo +e C ) = -oo )
61	17, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( C e. RR -> ( -oo +e C ) = -oo )
62	61	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( -oo +e C ) = -oo )
63	58, 62	sylan9eqr 2260	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e C ) = -oo )
64		xaddcl 9982	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
65	32, 10, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( B +e C ) e. RR* )
66	65	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( B +e C ) e. RR* )
67		mnfle 9914	. . . . 5 |- ( ( B +e C ) e. RR* -> -oo <_ ( B +e C ) )
68	66, 67	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ ( B +e C ) )
69	63, 68	eqbrtrd 4066	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
70		elxr 9898	. . . . 5 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
71	9, 70	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
72	71	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
73	44, 57, 69, 72	mpjao3dan 1320	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
74	38	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
75	12	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) e. RR* )
76	75, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) <_ +oo )
77		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> C = +oo )
78	77	oveq2d 5960	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e C ) = ( B +e +oo ) )
79	32	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> B e. RR* )
80		xaddpnf1 9968	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
81	79, 80	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
82	78, 81	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( B +e C ) = +oo )
83	76, 82	breqtrrd 4072	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) /\ B =/= -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
84		xrmnfdc 9965	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> DECID B = -oo )
85		exmiddc 838	. . . . . 6 |- (DECID B = -oo -> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
87		df-ne 2377	. . . . . 6 |- ( B =/= -oo <-> -. B = -oo )
88	87	orbi2i 764	. . . . 5 |- ( ( B = -oo \/ B =/= -oo ) <-> ( B = -oo \/ -. B = -oo ) )
89	86, 88	sylibr 134	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( B = -oo \/ B =/= -oo ) )
90	79, 89	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> ( B = -oo \/ B =/= -oo ) )
91	74, 83, 90	mpjaodan 800	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
92	56	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
93		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> C = -oo )
94	93	oveq2d 5960	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) = ( A +e -oo ) )
95	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> A e. RR* )
96		xaddmnf1 9970	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
97	95, 96	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
98	94, 97	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) = -oo )
99	65	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( B +e C ) e. RR* )
100	99, 67	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> -oo <_ ( B +e C ) )
101	98, 100	eqbrtrd 4066	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) /\ A =/= +oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
102		xrpnfdc 9964	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> DECID A = +oo )
103		exmiddc 838	. . . . . 6 |- (DECID A = +oo -> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
104	102, 103	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
105		df-ne 2377	. . . . . 6 |- ( A =/= +oo <-> -. A = +oo )
106	105	orbi2i 764	. . . . 5 |- ( ( A = +oo \/ A =/= +oo ) <-> ( A = +oo \/ -. A = +oo ) )
107	104, 106	sylibr 134	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
108	95, 107	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
109	92, 101, 108	mpjaodan 800	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) /\ C = -oo ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
110		elxr 9898	. . 3 |- ( C e. RR* <-> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
111	10, 110	sylib 122	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
112	73, 91, 109, 111	mpjao3dan 1320	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   \/ w3o 980   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   + caddc 7928   +oocpnf 8104   -oocmnf 8105   RR*cxr 8106   <_ cle 8108   +ecxad 9892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-xadd 9895

This theorem is referenced by:  xleadd2a  9996  xleadd1  9997  xaddge0  10000  xle2add  10001  xblss2ps  14876  xblss2  14877