Theorem zextle 9282

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9195	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8412	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ M )
4		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ M <-> M <_ M ) )
5		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ N <-> M <_ N ) )
6	4, 5	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( M <_ M <-> M <_ N ) ) )
7	6	rspcva 2828	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ M <-> M <_ N ) )
8	3, 7	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
9	8	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
10		zre 9195	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	leidd 8412	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N <_ N )
12	11	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ N )
13		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ M <-> N <_ M ) )
14		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ N <-> N <_ N ) )
15	13, 14	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( N <_ M <-> N <_ N ) ) )
16	15	rspcva 2828	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( N <_ M <-> N <_ N ) )
17	12, 16	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
18	17	adantll 468	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
19	9, 18	jca 304	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) )
20	19	ex 114	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
21		letri3 7979	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
22	1, 10, 21	syl2an 287	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
23	20, 22	sylibrd 168	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> M = N ) )
24	23	3impia 1190	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   class class class wbr 3982   RRcr 7752   <_ cle 7934   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-apti 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-neg 8072  df-z 9192

This theorem is referenced by:  zextlt  9283