Theorem zextle 9166

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9082	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8300	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ M )
4		breq1 3940	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ M <-> M <_ M ) )
5		breq1 3940	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ N <-> M <_ N ) )
6	4, 5	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( M <_ M <-> M <_ N ) ) )
7	6	rspcva 2791	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ M <-> M <_ N ) )
8	3, 7	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
9	8	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
10		zre 9082	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	leidd 8300	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N <_ N )
12	11	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ N )
13		breq1 3940	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ M <-> N <_ M ) )
14		breq1 3940	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ N <-> N <_ N ) )
15	13, 14	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( N <_ M <-> N <_ N ) ) )
16	15	rspcva 2791	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( N <_ M <-> N <_ N ) )
17	12, 16	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
18	17	adantll 468	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
19	9, 18	jca 304	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) )
20	19	ex 114	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
21		letri3 7869	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
22	1, 10, 21	syl2an 287	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
23	20, 22	sylibrd 168	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> M = N ) )
24	23	3impia 1179	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   class class class wbr 3937   RRcr 7643   <_ cle 7825   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-apti 7759

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-neg 7960  df-z 9079

This theorem is referenced by:  zextlt  9167