Theorem zextle 9373

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9286	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8500	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ M )
4		breq1 4021	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ M <-> M <_ M ) )
5		breq1 4021	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ N <-> M <_ N ) )
6	4, 5	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( M <_ M <-> M <_ N ) ) )
7	6	rspcva 2854	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ M <-> M <_ N ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
9	8	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
10		zre 9286	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	leidd 8500	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N <_ N )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ N )
13		breq1 4021	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ M <-> N <_ M ) )
14		breq1 4021	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ N <-> N <_ N ) )
15	13, 14	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( N <_ M <-> N <_ N ) ) )
16	15	rspcva 2854	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( N <_ M <-> N <_ N ) )
17	12, 16	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
18	17	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
19	9, 18	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) )
20	19	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
21		letri3 8067	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
22	1, 10, 21	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
23	20, 22	sylibrd 169	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> M = N ) )
24	23	3impia 1202	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   class class class wbr 4018   RRcr 7839   <_ cle 8022   ZZcz 9282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-apti 7955

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5898  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-neg 8160  df-z 9283

This theorem is referenced by:  zextlt  9374