Theorem zextle 9538

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9450	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8661	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ M )
4		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ M <-> M <_ M ) )
5		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ N <-> M <_ N ) )
6	4, 5	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( M <_ M <-> M <_ N ) ) )
7	6	rspcva 2905	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ M <-> M <_ N ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
9	8	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
10		zre 9450	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	leidd 8661	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N <_ N )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ N )
13		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ M <-> N <_ M ) )
14		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ N <-> N <_ N ) )
15	13, 14	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( N <_ M <-> N <_ N ) ) )
16	15	rspcva 2905	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( N <_ M <-> N <_ N ) )
17	12, 16	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
18	17	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
19	9, 18	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) )
20	19	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
21		letri3 8227	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
22	1, 10, 21	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
23	20, 22	sylibrd 169	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> M = N ) )
24	23	3impia 1224	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4083   RRcr 7998   <_ cle 8182   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-apti 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-neg 8320  df-z 9447

This theorem is referenced by:  zextlt  9539