ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zextle GIF version

Theorem zextle 9255
Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextle ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle
StepHypRef Expression
1 zre 9171 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 8389 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
32adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑀)
4 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑀𝑀𝑀))
5 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑁𝑀𝑁))
64, 5bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑀𝑀𝑀𝑁)))
76rspcva 2814 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑀𝑀𝑁))
83, 7mpbid 146 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
98adantlr 469 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
10 zre 9171 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110leidd 8389 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
1211adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑁)
13 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑀𝑁𝑀))
14 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑁𝑁𝑁))
1513, 14bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑁𝑀𝑁𝑁)))
1615rspcva 2814 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑁𝑀𝑁𝑁))
1712, 16mpbird 166 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
1817adantll 468 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
199, 18jca 304 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
2019ex 114 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
21 letri3 7958 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
221, 10, 21syl2an 287 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2320, 22sylibrd 168 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24233impia 1182 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435   class class class wbr 3965  cr 7731  cle 7913  cz 9167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-apti 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-neg 8049  df-z 9168
This theorem is referenced by:  zextlt  9256
  Copyright terms: Public domain W3C validator