Theorem zextle 9669

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		breq1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
5		breq1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6	4, 5	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	6	rspcva 2919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	8	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10		zre 9581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	leidd 8788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑁)
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑁)
13		breq1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
14		breq1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
15	13, 14	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁)))
16	15	rspcva 2919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
17	12, 16	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
18	17	adantll 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
19	9, 18	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
20	19	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21		letri3 8354	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	1, 10, 21	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	20, 22	sylibrd 169	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24	23	3impia 1227	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   class class class wbr 4109  ℝcr 8126   ≤ cle 8309  ℤcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-apti 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-neg 8447  df-z 9578

This theorem is referenced by:  zextlt  9670