Theorem modsumfzodifsn 10169

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 9924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		zq 9418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℚ)
5		elfzo0 9959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
6	5	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
7	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
8	7	simp1d 993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
10		zq 9418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℚ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℚ)
12		qaddcl 9427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℚ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
13	4, 11, 12	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
14	13	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
15	7	simp2d 994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnq 9425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
18	17	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
19		elfzo1 9967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
20	19	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
21	20	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
22	21	simp1d 993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 9030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
24	23, 8	nn0addcld 9034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 9033	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
26	25	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
27		simpr 109	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
28		modqid 10122	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐾 + 𝐽) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
29	14, 18, 26, 27, 28	syl22anc 1217	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
30	24	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
31	15	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32		elfzo0 9959	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
33	30, 31, 27, 32	syl3anbrc 1165	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁))
34	2	zcnd 9174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
35		0cnd 7759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
36	8	nn0cnd 9032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
37	22	nnne0d 8765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ≠ 0)
38	34, 35, 36, 37	addneintr2d 7951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
39	36	addid2d 7912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (0 + 𝐽) = 𝐽)
40	38, 39	neeqtrd 2336	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
41	40	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
42		eldifsn 3650	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽))
43	33, 41, 42	sylanbrc 413	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
44	29, 43	eqeltrd 2216	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
45	15	nncnd 8734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
46	45	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	mulm1d 8172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (-1 · 𝑁) = -𝑁)
48	47	oveq2d 5790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁))
49	34, 36	addcld 7785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ)
50	49, 45	negsubd 8079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
51	50	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
52	48, 51	eqtrd 2172	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
53	52	oveq1d 5789	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁))
54	13	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
55		neg1z 9086	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
56	55	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → -1 ∈ ℤ)
57	17	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
58	15	nngt0d 8764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 < 𝑁)
59	58	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 < 𝑁)
60		modqcyc 10132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
61	54, 56, 57, 59, 60	syl22anc 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
62		qsubcl 9430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
63	13, 17, 62	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
64	63	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
65		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
66	15	nnred 8733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
67	66	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
68	24	nn0red 9031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
69	68	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
70	67, 69	lenltd 7880	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) ↔ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
71	65, 70	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽))
72	69, 67	subge0d 8297	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
73	71, 72	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
74	2	zred 9173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
75	8	nn0red 9031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
76	21	simp3d 995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
77	7	simp3d 995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 < 𝑁)
78	74, 75, 66, 66, 76, 77	lt2addd 8329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
79	68, 66, 66	ltsubaddd 8303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
80	78, 79	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
81	80	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
82		modqid 10122	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
83	64, 57, 73, 81, 82	syl22anc 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
84	53, 61, 83	3eqtr3d 2180	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
85	24	nn0zd 9171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
86	15	nnzd 9172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87	85, 86	zsubcld 9178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
88	87	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
89		elnn0z 9067	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
90	88, 73, 89	sylanbrc 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0)
91	15	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
92		elfzo0 9959	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
93	90, 91, 81, 92	syl3anbrc 1165	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
94	34, 45	subcld 8073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
95	74, 76	ltned 7877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ≠ 𝑁)
96	34, 45, 95	subne0d 8082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
97	94, 35, 36, 96	addneintr2d 7951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
98	34, 36, 45	addsubd 8094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽))
99	39	eqcomd 2145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
100	97, 98, 99	3netr4d 2341	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
101	100	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
102		eldifsn 3650	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽))
103	93, 101, 102	sylanbrc 413	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
104	84, 103	eqeltrd 2216	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
105		zdclt 9128	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
106		exmiddc 821	. . . 4 ⊢ (DECID (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
107	105, 106	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
108	85, 86, 107	syl2anc 408	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
109	44, 104, 108	mpjaodan 787	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  DECID wdc 819   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   ∖ cdif 3068  {csn 3527   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  -cneg 7934  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℚcq 9411  ..^cfzo 9919   mod cmo 10095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096

This theorem is referenced by: (None)