Theorem modsumfzodifsn 10505

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		zq 9717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℚ)
5		elfzo0 10275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
6	5	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
7	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
8	7	simp1d 1011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
10		zq 9717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℚ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℚ)
12		qaddcl 9726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℚ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
15	7	simp2d 1012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnq 9724	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
19		elfzo1 10283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
20	19	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
21	20	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
22	21	simp1d 1011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 9319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
24	23, 8	nn0addcld 9323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 9322	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
26	25	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
27		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
28		modqid 10458	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐾 + 𝐽) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
29	14, 18, 26, 27, 28	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
30	24	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
31	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32		elfzo0 10275	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
33	30, 31, 27, 32	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁))
34	2	zcnd 9466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
35		0cnd 8036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
36	8	nn0cnd 9321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
37	22	nnne0d 9052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ≠ 0)
38	34, 35, 36, 37	addneintr2d 8232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
39	36	addlidd 8193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (0 + 𝐽) = 𝐽)
40	38, 39	neeqtrd 2395	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
41	40	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
42		eldifsn 3750	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽))
43	33, 41, 42	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
44	29, 43	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
45	15	nncnd 9021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	mulm1d 8453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (-1 · 𝑁) = -𝑁)
48	47	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁))
49	34, 36	addcld 8063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ)
50	49, 45	negsubd 8360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
51	50	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
52	48, 51	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
53	52	oveq1d 5940	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁))
54	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
55		neg1z 9375	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
56	55	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → -1 ∈ ℤ)
57	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
58	15	nngt0d 9051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 < 𝑁)
59	58	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 < 𝑁)
60		modqcyc 10468	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
61	54, 56, 57, 59, 60	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
62		qsubcl 9729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
63	13, 17, 62	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
64	63	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
65		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
66	15	nnred 9020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
68	24	nn0red 9320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
69	68	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
70	67, 69	lenltd 8161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) ↔ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
71	65, 70	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽))
72	69, 67	subge0d 8579	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
73	71, 72	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
74	2	zred 9465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
75	8	nn0red 9320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
76	21	simp3d 1013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
77	7	simp3d 1013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 < 𝑁)
78	74, 75, 66, 66, 76, 77	lt2addd 8611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
79	68, 66, 66	ltsubaddd 8585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
80	78, 79	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
81	80	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
82		modqid 10458	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
83	64, 57, 73, 81, 82	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
84	53, 61, 83	3eqtr3d 2237	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
85	24	nn0zd 9463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
86	15	nnzd 9464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87	85, 86	zsubcld 9470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
88	87	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
89		elnn0z 9356	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
90	88, 73, 89	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0)
91	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
92		elfzo0 10275	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
93	90, 91, 81, 92	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
94	34, 45	subcld 8354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
95	74, 76	ltned 8157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ≠ 𝑁)
96	34, 45, 95	subne0d 8363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
97	94, 35, 36, 96	addneintr2d 8232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
98	34, 36, 45	addsubd 8375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽))
99	39	eqcomd 2202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
100	97, 98, 99	3netr4d 2400	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
101	100	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
102		eldifsn 3750	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽))
103	93, 101, 102	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
104	84, 103	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
105		zdclt 9420	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
106		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
107	105, 106	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
108	85, 86, 107	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
109	44, 104, 108	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∖ cdif 3154  {csn 3623   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   < clt 8078   ≤ cle 8079   − cmin 8214  -cneg 8215  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℚcq 9710  ..^cfzo 10234   mod cmo 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432

This theorem is referenced by: (None)