Theorem fxnn0nninf 9832

Description: A function from ℕ₀^* into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1𝑜, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})

Assertion

Ref	Expression
fxnn0nninf	⊢ 𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem fxnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2		fxnn0nninf.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1𝑜, ∅)))
3	1, 2	fnn0nninf 9831	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞
4		pnfex 7531	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ V
5		omex 4406	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
6		1oex 6181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ V
7	6	snex 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ {1𝑜} ∈ V
8	5, 7	xpex 4549	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × {1𝑜}) ∈ V
9	4, 8	f1osn 5287	. . . . . . 7 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1𝑜})}
10		f1of 5247	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1𝑜})} → {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1𝑜})})
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1𝑜})}
12		infnninf 6795	. . . . . . 7 ⊢ (ω × {1𝑜}) ∈ ℕ∞
13		snssi 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((ω × {1𝑜}) ∈ ℕ∞ → {(ω × {1𝑜})} ⊆ ℕ∞)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ {(ω × {1𝑜})} ⊆ ℕ∞
15		fss 5166	. . . . . 6 ⊢ (({⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1𝑜})} ∧ {(ω × {1𝑜})} ⊆ ℕ∞) → {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞)
16	11, 14, 15	mp2an 417	. . . . 5 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞
17	3, 16	pm3.2i 266	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞ ∧ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞)
18		disj 3330	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
19		nn0nepnf 8734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ≠ +∞)
20	19	neneqd 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 = +∞)
21		elsni 3462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
22	20, 21	nsyl 593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
23	18, 22	mprgbir 2433	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅
24		fun2 5178	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞ ∧ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞) ∧ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
25	17, 23, 24	mp2an 417	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞
26		fxnn0nninf.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
27	26	feq1i 5148	. . 3 ⊢ (𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞ ↔ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
28	25, 27	mpbir 144	. 2 ⊢ 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞
29		df-xnn0 8727	. . 3 ⊢ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
30	29	feq2i 5149	. 2 ⊢ (𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞ ↔ 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
31	28, 30	mpbir 144	1 ⊢ 𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   = wceq 1289   ∈ wcel 1438   ∪ cun 2997   ∩ cin 2998   ⊆ wss 2999  ∅c0 3286  ifcif 3391  {csn 3444  ⟨cop 3447   ↦ cmpt 3897  ωcom 4403   × cxp 4434  ^◡ccnv 4435   ∘ ccom 4440  ⟶wf 5006  –1-1-onto→wf1o 5009  (class class class)co 5644  freccfrec 6147  1_𝑜c1o 6166  ℕ_∞xnninf 6779  0cc0 7340  1c1 7341   + caddc 7343  +∞cpnf 7509  ℕ₀cn0 8663  ℕ₀^*cxnn0 8726  ℤcz 8740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-ltadd 7451

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-recs 6062  df-frec 6148  df-1o 6173  df-2o 6174  df-map 6397  df-nninf 6781  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-xnn0 8727  df-z 8741  df-uz 9010

This theorem is referenced by: (None)