Theorem fxnn0nninf 10597

Description: A function from ℕ₀^* into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.) TODO: use infnninf 7238 instead of infnninfOLD 7239. More generally, this theorem and most theorems in this section could use an extended 𝐺 defined by 𝐺 = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∪ ⟨ω, +∞⟩) and 𝐹 = (𝑛 ∈ suc ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1_o, ∅))) as in nnnninf2 7241.

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
fxnn0nninf	⊢ 𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem fxnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2		fxnn0nninf.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
3	1, 2	fnn0nninf 10596	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞
4		pnfex 8139	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ V
5		omex 4646	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
6		1oex 6520	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
7	6	snex 4234	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ V
8	5, 7	xpex 4795	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
9	4, 8	f1osn 5572	. . . . . . 7 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1o})}
10		f1of 5531	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1o})} → {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})})
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})}
12		infnninfOLD 7239	. . . . . . 7 ⊢ (ω × {1o}) ∈ ℕ∞
13		snssi 3780	. . . . . . 7 ⊢ ((ω × {1o}) ∈ ℕ∞ → {(ω × {1o})} ⊆ ℕ∞)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {(ω × {1o})} ⊆ ℕ∞
15		fss 5444	. . . . . 6 ⊢ (({⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})} ∧ {(ω × {1o})} ⊆ ℕ∞) → {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞)
16	11, 14, 15	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞
17	3, 16	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞ ∧ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞)
18		disj 3511	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
19		nn0nepnf 9379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ≠ +∞)
20	19	neneqd 2398	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 = +∞)
21		elsni 3653	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
22	20, 21	nsyl 629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
23	18, 22	mprgbir 2565	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅
24		fun2 5457	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞ ∧ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞) ∧ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
25	17, 23, 24	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞
26		fxnn0nninf.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
27	26	feq1i 5425	. . 3 ⊢ (𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞ ↔ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
28	25, 27	mpbir 146	. 2 ⊢ 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞
29		df-xnn0 9372	. . 3 ⊢ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
30	29	feq2i 5426	. 2 ⊢ (𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞ ↔ 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
31	28, 30	mpbir 146	1 ⊢ 𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∪ cun 3166   ∩ cin 3167   ⊆ wss 3168  ∅c0 3462  ifcif 3573  {csn 3635  ⟨cop 3638   ↦ cmpt 4110  ωcom 4643   × cxp 4678  ^◡ccnv 4679   ∘ ccom 4684  ⟶wf 5273  –1-1-onto→wf1o 5276  (class class class)co 5954  freccfrec 6486  1_oc1o 6505  ℕ_∞xnninf 7233  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941  +∞cpnf 8117  ℕ₀cn0 9308  ℕ₀^*cxnn0 9371  ℤcz 9385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-recs 6401  df-frec 6487  df-1o 6512  df-2o 6513  df-map 6747  df-nninf 7234  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-inn 9050  df-n0 9309  df-xnn0 9372  df-z 9386  df-uz 9662

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12411