ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fxnn0nninf GIF version

Theorem fxnn0nninf 10179
Description: A function from 0* into . (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
Assertion
Ref Expression
fxnn0nninf 𝐼:ℕ0*⟶ℕ
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem fxnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.g . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2 fxnn0nninf.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
31, 2fnn0nninf 10178 . . . . 5 (𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ
4 pnfex 7787 . . . . . . . 8 +∞ ∈ V
5 omex 4477 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
6 1oex 6289 . . . . . . . . . 10 1o ∈ V
76snex 4079 . . . . . . . . 9 {1o} ∈ V
85, 7xpex 4624 . . . . . . . 8 (ω × {1o}) ∈ V
94, 8f1osn 5375 . . . . . . 7 {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1o})}
10 f1of 5335 . . . . . . 7 ({⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1o})} → {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})})
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})}
12 infnninf 6990 . . . . . . 7 (ω × {1o}) ∈ ℕ
13 snssi 3634 . . . . . . 7 ((ω × {1o}) ∈ ℕ → {(ω × {1o})} ⊆ ℕ)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 {(ω × {1o})} ⊆ ℕ
15 fss 5254 . . . . . 6 (({⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})} ∧ {(ω × {1o})} ⊆ ℕ) → {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ)
1611, 14, 15mp2an 422 . . . . 5 {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ
173, 16pm3.2i 270 . . . 4 ((𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ ∧ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ)
18 disj 3381 . . . . 5 ((ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
19 nn0nepnf 9016 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ≠ +∞)
2019neneqd 2306 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 = +∞)
21 elsni 3515 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
2220, 21nsyl 602 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
2318, 22mprgbir 2467 . . . 4 (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅
24 fun2 5266 . . . 4 ((((𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ ∧ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ) ∧ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅) → ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
2517, 23, 24mp2an 422 . . 3 ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ
26 fxnn0nninf.i . . . 4 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2726feq1i 5235 . . 3 (𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ ↔ ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
2825, 27mpbir 145 . 2 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ
29 df-xnn0 9009 . . 3 0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
3029feq2i 5236 . 2 (𝐼:ℕ0*⟶ℕ𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
3128, 30mpbir 145 1 𝐼:ℕ0*⟶ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  cun 3039  cin 3040  wss 3041  c0 3333  ifcif 3444  {csn 3497  cop 3500  cmpt 3959  ωcom 4474   × cxp 4507  ccnv 4508  ccom 4513  wf 5089  1-1-ontowf1o 5092  (class class class)co 5742  freccfrec 6255  1oc1o 6274  xnninf 6973  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591  +∞cpnf 7765  0cn0 8945  0*cxnn0 9008  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-recs 6170  df-frec 6256  df-1o 6281  df-2o 6282  df-map 6512  df-nninf 6975  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-xnn0 9009  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator