ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fxnn0nninf GIF version
Theorem fxnn0nninf 10440
Description: A function from β„•0* into β„•βˆž. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.) TODO: use infnninf 7124 instead of infnninfOLD 7125. More generally, this theorem and most theorems in this section could use an extended 𝐺 defined by 𝐺 = (frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0) βˆͺ βŸ¨Ο‰, +∞⟩) and 𝐹 = (𝑛 ∈ suc Ο‰ ↦ (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))) as in nnnninf2 7127.
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◑𝐺) βˆͺ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩})
Assertion
Ref Expression
fxnn0nninf 𝐼:β„•0*βŸΆβ„•βˆž
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑖,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑖,𝑛)   𝐼(π‘₯,𝑖,𝑛)
Proof of Theorem fxnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.g . . . . . 6 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
2 fxnn0nninf.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…)))
31, 2fnn0nninf 10439 . . . . 5 (𝐹 ∘ ◑𝐺):β„•0βŸΆβ„•βˆž
4 pnfex 8013 . . . . . . . 8 +∞ ∈ V
5 omex 4594 . . . . . . . . 9 Ο‰ ∈ V
6 1oex 6427 . . . . . . . . . 10 1o ∈ V
76snex 4187 . . . . . . . . 9 {1o} ∈ V
85, 7xpex 4743 . . . . . . . 8 (Ο‰ Γ— {1o}) ∈ V
94, 8f1osn 5503 . . . . . . 7 {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}–1-1-ontoβ†’{(Ο‰ Γ— {1o})}
10 f1of 5463 . . . . . . 7 ({⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}–1-1-ontoβ†’{(Ο‰ Γ— {1o})} β†’ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}⟢{(Ο‰ Γ— {1o})})
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}⟢{(Ο‰ Γ— {1o})}
12 infnninfOLD 7125 . . . . . . 7 (Ο‰ Γ— {1o}) ∈ β„•βˆž
13 snssi 3738 . . . . . . 7 ((Ο‰ Γ— {1o}) ∈ β„•βˆž β†’ {(Ο‰ Γ— {1o})} βŠ† β„•βˆž)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 {(Ο‰ Γ— {1o})} βŠ† β„•βˆž
15 fss 5379 . . . . . 6 (({⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}⟢{(Ο‰ Γ— {1o})} ∧ {(Ο‰ Γ— {1o})} βŠ† β„•βˆž) β†’ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}βŸΆβ„•βˆž)
1611, 14, 15mp2an 426 . . . . 5 {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}βŸΆβ„•βˆž
173, 16pm3.2i 272 . . . 4 ((𝐹 ∘ ◑𝐺):β„•0βŸΆβ„•βˆž ∧ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}βŸΆβ„•βˆž)
18 disj 3473 . . . . 5 ((β„•0 ∩ {+∞}) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 Β¬ π‘₯ ∈ {+∞})
19 nn0nepnf 9249 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ β‰  +∞)
2019neneqd 2368 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ Β¬ π‘₯ = +∞)
21 elsni 3612 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {+∞} β†’ π‘₯ = +∞)
2220, 21nsyl 628 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {+∞})
2318, 22mprgbir 2535 . . . 4 (β„•0 ∩ {+∞}) = βˆ…
24 fun2 5391 . . . 4 ((((𝐹 ∘ ◑𝐺):β„•0βŸΆβ„•βˆž ∧ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}:{+∞}βŸΆβ„•βˆž) ∧ (β„•0 ∩ {+∞}) = βˆ…) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) βˆͺ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}):(β„•0 βˆͺ {+∞})βŸΆβ„•βˆž)
2517, 23, 24mp2an 426 . . 3 ((𝐹 ∘ ◑𝐺) βˆͺ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}):(β„•0 βˆͺ {+∞})βŸΆβ„•βˆž
26 fxnn0nninf.i . . . 4 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◑𝐺) βˆͺ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩})
2726feq1i 5360 . . 3 (𝐼:(β„•0 βˆͺ {+∞})βŸΆβ„•βˆž ↔ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) βˆͺ {⟨+∞, (Ο‰ Γ— {1o})⟩}):(β„•0 βˆͺ {+∞})βŸΆβ„•βˆž)
2825, 27mpbir 146 . 2 𝐼:(β„•0 βˆͺ {+∞})βŸΆβ„•βˆž
29 df-xnn0 9242 . . 3 β„•0* = (β„•0 βˆͺ {+∞})
3029feq2i 5361 . 2 (𝐼:β„•0*βŸΆβ„•βˆž ↔ 𝐼:(β„•0 βˆͺ {+∞})βŸΆβ„•βˆž)
3128, 30mpbir 146 1 𝐼:β„•0*βŸΆβ„•βˆž
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βˆͺ cun 3129   ∩ cin 3130   βŠ† wss 3131  βˆ…c0 3424  ifcif 3536  {csn 3594  βŸ¨cop 3597   ↦ cmpt 4066  Ο‰com 4591   Γ— cxp 4626  β—‘ccnv 4627   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5217  (class class class)co 5877  freccfrec 6393  1oc1o 6412  β„•βˆžxnninf 7120  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816  +∞cpnf 7991  β„•0cn0 9178  β„•0*cxnn0 9241  β„€cz 9255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-nninf 7121  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-xnn0 9242  df-z 9256  df-uz 9531
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator