Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fxnn0nninf GIF version

Theorem fxnn0nninf 10204
 Description: A function from ℕ0* into ℕ∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
Assertion
Ref Expression
fxnn0nninf 𝐼:ℕ0*⟶ℕ
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem fxnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.g . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2 fxnn0nninf.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
31, 2fnn0nninf 10203 . . . . 5 (𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ
4 pnfex 7812 . . . . . . . 8 +∞ ∈ V
5 omex 4502 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
6 1oex 6314 . . . . . . . . . 10 1o ∈ V
76snex 4104 . . . . . . . . 9 {1o} ∈ V
85, 7xpex 4649 . . . . . . . 8 (ω × {1o}) ∈ V
94, 8f1osn 5400 . . . . . . 7 {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1o})}
10 f1of 5360 . . . . . . 7 ({⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1o})} → {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})})
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})}
12 infnninf 7015 . . . . . . 7 (ω × {1o}) ∈ ℕ
13 snssi 3659 . . . . . . 7 ((ω × {1o}) ∈ ℕ → {(ω × {1o})} ⊆ ℕ)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 {(ω × {1o})} ⊆ ℕ
15 fss 5279 . . . . . 6 (({⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})} ∧ {(ω × {1o})} ⊆ ℕ) → {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ)
1611, 14, 15mp2an 422 . . . . 5 {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ
173, 16pm3.2i 270 . . . 4 ((𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ ∧ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ)
18 disj 3406 . . . . 5 ((ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
19 nn0nepnf 9041 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ≠ +∞)
2019neneqd 2327 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 = +∞)
21 elsni 3540 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
2220, 21nsyl 617 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
2318, 22mprgbir 2488 . . . 4 (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅
24 fun2 5291 . . . 4 ((((𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ ∧ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ) ∧ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅) → ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
2517, 23, 24mp2an 422 . . 3 ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ
26 fxnn0nninf.i . . . 4 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2726feq1i 5260 . . 3 (𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ ↔ ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
2825, 27mpbir 145 . 2 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ
29 df-xnn0 9034 . . 3 0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
3029feq2i 5261 . 2 (𝐼:ℕ0*⟶ℕ𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
3128, 30mpbir 145 1 𝐼:ℕ0*⟶ℕ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3064   ∩ cin 3065   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358  ifcif 3469  {csn 3522  ⟨cop 3525   ↦ cmpt 3984  ωcom 4499   × cxp 4532  ◡ccnv 4533   ∘ ccom 4538  ⟶wf 5114  –1-1-onto→wf1o 5117  (class class class)co 5767  freccfrec 6280  1oc1o 6299  ℕ∞xnninf 6998  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616  +∞cpnf 7790  ℕ0cn0 8970  ℕ0*cxnn0 9033  ℤcz 9047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-2o 6307  df-map 6537  df-nninf 7000  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-xnn0 9034  df-z 9048  df-uz 9320 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator