ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fxnn0nninf GIF version

Theorem fxnn0nninf 9832
Description: A function from 0* into . (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
Assertion
Ref Expression
fxnn0nninf 𝐼:ℕ0*⟶ℕ
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem fxnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.g . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2 fxnn0nninf.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
31, 2fnn0nninf 9831 . . . . 5 (𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ
4 pnfex 7531 . . . . . . . 8 +∞ ∈ V
5 omex 4406 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
6 1oex 6181 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ V
76snex 4018 . . . . . . . . 9 {1𝑜} ∈ V
85, 7xpex 4549 . . . . . . . 8 (ω × {1𝑜}) ∈ V
94, 8f1osn 5287 . . . . . . 7 {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1𝑜})}
10 f1of 5247 . . . . . . 7 ({⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1𝑜})} → {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1𝑜})})
119, 10ax-mp 7 . . . . . 6 {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1𝑜})}
12 infnninf 6795 . . . . . . 7 (ω × {1𝑜}) ∈ ℕ
13 snssi 3579 . . . . . . 7 ((ω × {1𝑜}) ∈ ℕ → {(ω × {1𝑜})} ⊆ ℕ)
1412, 13ax-mp 7 . . . . . 6 {(ω × {1𝑜})} ⊆ ℕ
15 fss 5166 . . . . . 6 (({⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1𝑜})} ∧ {(ω × {1𝑜})} ⊆ ℕ) → {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶ℕ)
1611, 14, 15mp2an 417 . . . . 5 {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶ℕ
173, 16pm3.2i 266 . . . 4 ((𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ ∧ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶ℕ)
18 disj 3330 . . . . 5 ((ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
19 nn0nepnf 8734 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ≠ +∞)
2019neneqd 2276 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 = +∞)
21 elsni 3462 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
2220, 21nsyl 593 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
2318, 22mprgbir 2433 . . . 4 (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅
24 fun2 5178 . . . 4 ((((𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ ∧ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}:{+∞}⟶ℕ) ∧ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅) → ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
2517, 23, 24mp2an 417 . . 3 ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ
26 fxnn0nninf.i . . . 4 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
2726feq1i 5148 . . 3 (𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ ↔ ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
2825, 27mpbir 144 . 2 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ
29 df-xnn0 8727 . . 3 0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
3029feq2i 5149 . 2 (𝐼:ℕ0*⟶ℕ𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ)
3128, 30mpbir 144 1 𝐼:ℕ0*⟶ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  cun 2997  cin 2998  wss 2999  c0 3286  ifcif 3391  {csn 3444  cop 3447  cmpt 3897  ωcom 4403   × cxp 4434  ccnv 4435  ccom 4440  wf 5006  1-1-ontowf1o 5009  (class class class)co 5644  freccfrec 6147  1𝑜c1o 6166  xnninf 6779  0cc0 7340  1c1 7341   + caddc 7343  +∞cpnf 7509  0cn0 8663  0*cxnn0 8726  cz 8740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-ltadd 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-recs 6062  df-frec 6148  df-1o 6173  df-2o 6174  df-map 6397  df-nninf 6781  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-xnn0 8727  df-z 8741  df-uz 9010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator