Theorem fxnn0nninf 10510

Description: A function from ℕ₀^* into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.) TODO: use infnninf 7183 instead of infnninfOLD 7184. More generally, this theorem and most theorems in this section could use an extended 𝐺 defined by 𝐺 = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∪ ⟨ω, +∞⟩) and 𝐹 = (𝑛 ∈ suc ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1_o, ∅))) as in nnnninf2 7186.

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
fxnn0nninf	⊢ 𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem fxnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2		fxnn0nninf.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
3	1, 2	fnn0nninf 10509	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞
4		pnfex 8073	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ V
5		omex 4625	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
6		1oex 6477	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
7	6	snex 4214	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ V
8	5, 7	xpex 4774	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
9	4, 8	f1osn 5540	. . . . . . 7 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1o})}
10		f1of 5500	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}–1-1-onto→{(ω × {1o})} → {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})})
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})}
12		infnninfOLD 7184	. . . . . . 7 ⊢ (ω × {1o}) ∈ ℕ∞
13		snssi 3762	. . . . . . 7 ⊢ ((ω × {1o}) ∈ ℕ∞ → {(ω × {1o})} ⊆ ℕ∞)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {(ω × {1o})} ⊆ ℕ∞
15		fss 5415	. . . . . 6 ⊢ (({⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶{(ω × {1o})} ∧ {(ω × {1o})} ⊆ ℕ∞) → {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞)
16	11, 14, 15	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞
17	3, 16	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞ ∧ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞)
18		disj 3495	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
19		nn0nepnf 9311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ≠ +∞)
20	19	neneqd 2385	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 = +∞)
21		elsni 3636	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
22	20, 21	nsyl 629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑥 ∈ {+∞})
23	18, 22	mprgbir 2552	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅
24		fun2 5427	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞ ∧ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}:{+∞}⟶ℕ∞) ∧ (ℕ0 ∩ {+∞}) = ∅) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
25	17, 23, 24	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞
26		fxnn0nninf.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
27	26	feq1i 5396	. . 3 ⊢ (𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞ ↔ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
28	25, 27	mpbir 146	. 2 ⊢ 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞
29		df-xnn0 9304	. . 3 ⊢ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
30	29	feq2i 5397	. 2 ⊢ (𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞ ↔ 𝐼:(ℕ0 ∪ {+∞})⟶ℕ∞)
31	28, 30	mpbir 146	1 ⊢ 𝐼:ℕ0*⟶ℕ∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  ifcif 3557  {csn 3618  ⟨cop 3621   ↦ cmpt 4090  ωcom 4622   × cxp 4657  ^◡ccnv 4658   ∘ ccom 4663  ⟶wf 5250  –1-1-onto→wf1o 5253  (class class class)co 5918  freccfrec 6443  1_oc1o 6462  ℕ_∞xnninf 7178  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875  +∞cpnf 8051  ℕ₀cn0 9240  ℕ₀^*cxnn0 9303  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-map 6704  df-nninf 7179  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-xnn0 9304  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12177