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Theorem fidcenumlemr 7014
Description: Lemma for fidcenum 7015. Reverse direction (put into deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fidcenumlemr.dc (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
fidcenumlemr.f (𝜑𝐹:𝑁onto𝐴)
fidcenumlemr.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemr (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fidcenumlemr
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑁onto𝐴)
2 foima 5481 . . 3 (𝐹:𝑁onto𝐴 → (𝐹𝑁) = 𝐴)
31, 2syl 14 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) = 𝐴)
4 ssid 3199 . . 3 𝑁𝑁
5 fidcenumlemr.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ω)
65adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
7 sseq1 3202 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑁 ↔ ∅ ⊆ 𝑁))
87anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁)))
9 imaeq2 5001 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝐹𝑤) = (𝐹 “ ∅))
109eleq1d 2262 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ∅) ∈ Fin))
118, 10imbi12d 234 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝐹𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → (𝐹 “ ∅) ∈ Fin)))
12 sseq1 3202 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤𝑁𝑘𝑁))
1312anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑𝑘𝑁)))
14 imaeq2 5001 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
1514eleq1d 2262 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝑘) ∈ Fin))
1613, 15imbi12d 234 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝐹𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)))
17 sseq1 3202 . . . . . . 7 (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤𝑁 ↔ suc 𝑘𝑁))
1817anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)))
19 imaeq2 5001 . . . . . . 7 (𝑤 = suc 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹 “ suc 𝑘))
2019eleq1d 2262 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin))
2118, 20imbi12d 234 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑘 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝐹𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)))
22 sseq1 3202 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤𝑁𝑁𝑁))
2322anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑𝑁𝑁)))
24 imaeq2 5001 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
2524eleq1d 2262 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝑁) ∈ Fin))
2623, 25imbi12d 234 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝐹𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝜑𝑁𝑁) → (𝐹𝑁) ∈ Fin)))
27 ima0 5024 . . . . . . 7 (𝐹 “ ∅) = ∅
28 0fin 6940 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
2927, 28eqeltri 2266 . . . . . 6 (𝐹 “ ∅) ∈ Fin
3029a1i 9 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → (𝐹 “ ∅) ∈ Fin)
31 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝜑)
32 fofn 5478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑁onto𝐴𝐹 Fn 𝑁)
331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝑁)
3431, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝐹 Fn 𝑁)
35 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → suc 𝑘𝑁)
36 vex 2763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 ∈ V
3736sucid 4448 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 ∈ suc 𝑘
3837a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝑘 ∈ suc 𝑘)
3935, 38sseldd 3180 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
40 fnsnfv 5616 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑁𝑘𝑁) → {(𝐹𝑘)} = (𝐹 “ {𝑘}))
4134, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → {(𝐹𝑘)} = (𝐹 “ {𝑘}))
4241uneq2d 3313 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = ((𝐹𝑘) ∪ (𝐹 “ {𝑘})))
43 df-suc 4402 . . . . . . . . . . . . 13 suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
4443imaeq2i 5003 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ suc 𝑘) = (𝐹 “ (𝑘 ∪ {𝑘}))
45 imaundi 5078 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ (𝑘 ∪ {𝑘})) = ((𝐹𝑘) ∪ (𝐹 “ {𝑘}))
4644, 45eqtri 2214 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ suc 𝑘) = ((𝐹𝑘) ∪ (𝐹 “ {𝑘}))
4742, 46eqtr4di 2244 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹 “ suc 𝑘))
4847adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹 “ suc 𝑘))
49 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
5049snssd 3763 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → {(𝐹𝑘)} ⊆ (𝐹𝑘))
51 ssequn2 3332 . . . . . . . . . 10 ({(𝐹𝑘)} ⊆ (𝐹𝑘) ↔ ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹𝑘))
5250, 51sylib 122 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹𝑘))
5348, 52eqtr3d 2228 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹 “ suc 𝑘) = (𝐹𝑘))
54 sssucid 4446 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ⊆ suc 𝑘
55 sstr 3187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ⊆ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
5654, 55mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑘𝑁𝑘𝑁)
5756ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
58 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin))
5931, 57, 58mp2and 433 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)
6059adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)
6153, 60eqeltrd 2270 . . . . . . 7 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)
6247adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹 “ suc 𝑘))
6359adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)
6431, 1syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝐹:𝑁onto𝐴)
65 fof 5476 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁onto𝐴𝐹:𝑁𝐴)
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝐹:𝑁𝐴)
6766, 39ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐴)
6867adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐴)
69 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
70 unsnfi 6975 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ Fin ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) ∈ Fin)
7163, 68, 69, 70syl3anc 1249 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) ∈ Fin)
7262, 71eqeltrrd 2271 . . . . . . 7 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)
73 fidcenumlemr.dc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
7431, 73syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
75 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝑘 ∈ ω)
7674, 64, 75, 57, 67fidcenumlemrk 7013 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∨ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
7761, 72, 76mpjaodan 799 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)
7877exp31 364 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin) → ((𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)))
7911, 16, 21, 26, 30, 78finds 4632 . . . 4 (𝑁 ∈ ω → ((𝜑𝑁𝑁) → (𝐹𝑁) ∈ Fin))
806, 79mpcom 36 . . 3 ((𝜑𝑁𝑁) → (𝐹𝑁) ∈ Fin)
814, 80mpan2 425 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ Fin)
823, 81eqeltrrd 2271 1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  cun 3151  wss 3153  c0 3446  {csn 3618  suc csuc 4396  ωcom 4622  cima 4662   Fn wfn 5249  wf 5250  ontowfo 5252  cfv 5254  Fincfn 6794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797
This theorem is referenced by:  fidcenum  7015
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