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Theorem fidcenumlemr 6853
 Description: Lemma for fidcenum 6854. Reverse direction (put into deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fidcenumlemr.dc (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
fidcenumlemr.f (𝜑𝐹:𝑁onto𝐴)
fidcenumlemr.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemr (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fidcenumlemr
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑁onto𝐴)
2 foima 5359 . . 3 (𝐹:𝑁onto𝐴 → (𝐹𝑁) = 𝐴)
31, 2syl 14 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) = 𝐴)
4 ssid 3123 . . 3 𝑁𝑁
5 fidcenumlemr.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ω)
65adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
7 sseq1 3126 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑁 ↔ ∅ ⊆ 𝑁))
87anbi2d 460 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁)))
9 imaeq2 4886 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝐹𝑤) = (𝐹 “ ∅))
109eleq1d 2209 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ∅) ∈ Fin))
118, 10imbi12d 233 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝐹𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → (𝐹 “ ∅) ∈ Fin)))
12 sseq1 3126 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤𝑁𝑘𝑁))
1312anbi2d 460 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑𝑘𝑁)))
14 imaeq2 4886 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
1514eleq1d 2209 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝑘) ∈ Fin))
1613, 15imbi12d 233 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝐹𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)))
17 sseq1 3126 . . . . . . 7 (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤𝑁 ↔ suc 𝑘𝑁))
1817anbi2d 460 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)))
19 imaeq2 4886 . . . . . . 7 (𝑤 = suc 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹 “ suc 𝑘))
2019eleq1d 2209 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin))
2118, 20imbi12d 233 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑘 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝐹𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)))
22 sseq1 3126 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤𝑁𝑁𝑁))
2322anbi2d 460 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑𝑁𝑁)))
24 imaeq2 4886 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
2524eleq1d 2209 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝑁) ∈ Fin))
2623, 25imbi12d 233 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝐹𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝜑𝑁𝑁) → (𝐹𝑁) ∈ Fin)))
27 ima0 4907 . . . . . . 7 (𝐹 “ ∅) = ∅
28 0fin 6787 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
2927, 28eqeltri 2213 . . . . . 6 (𝐹 “ ∅) ∈ Fin
3029a1i 9 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → (𝐹 “ ∅) ∈ Fin)
31 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝜑)
32 fofn 5356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑁onto𝐴𝐹 Fn 𝑁)
331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝑁)
3431, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝐹 Fn 𝑁)
35 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → suc 𝑘𝑁)
36 vex 2693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 ∈ V
3736sucid 4348 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 ∈ suc 𝑘
3837a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝑘 ∈ suc 𝑘)
3935, 38sseldd 3104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
40 fnsnfv 5489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑁𝑘𝑁) → {(𝐹𝑘)} = (𝐹 “ {𝑘}))
4134, 39, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → {(𝐹𝑘)} = (𝐹 “ {𝑘}))
4241uneq2d 3236 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = ((𝐹𝑘) ∪ (𝐹 “ {𝑘})))
43 df-suc 4302 . . . . . . . . . . . . 13 suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
4443imaeq2i 4888 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ suc 𝑘) = (𝐹 “ (𝑘 ∪ {𝑘}))
45 imaundi 4960 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ (𝑘 ∪ {𝑘})) = ((𝐹𝑘) ∪ (𝐹 “ {𝑘}))
4644, 45eqtri 2161 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ suc 𝑘) = ((𝐹𝑘) ∪ (𝐹 “ {𝑘}))
4742, 46eqtr4di 2191 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹 “ suc 𝑘))
4847adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹 “ suc 𝑘))
49 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
5049snssd 3674 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → {(𝐹𝑘)} ⊆ (𝐹𝑘))
51 ssequn2 3255 . . . . . . . . . 10 ({(𝐹𝑘)} ⊆ (𝐹𝑘) ↔ ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹𝑘))
5250, 51sylib 121 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹𝑘))
5348, 52eqtr3d 2175 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹 “ suc 𝑘) = (𝐹𝑘))
54 sssucid 4346 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ⊆ suc 𝑘
55 sstr 3111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ⊆ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
5654, 55mpan 421 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑘𝑁𝑘𝑁)
5756ad2antll 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
58 simplr 520 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin))
5931, 57, 58mp2and 430 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)
6059adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)
6153, 60eqeltrd 2217 . . . . . . 7 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)
6247adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) = (𝐹 “ suc 𝑘))
6359adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)
6431, 1syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝐹:𝑁onto𝐴)
65 fof 5354 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁onto𝐴𝐹:𝑁𝐴)
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝐹:𝑁𝐴)
6766, 39ffvelrnd 5565 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐴)
6867adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐴)
69 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
70 unsnfi 6817 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ Fin ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) ∈ Fin)
7163, 68, 69, 70syl3anc 1217 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) ∪ {(𝐹𝑘)}) ∈ Fin)
7262, 71eqeltrrd 2218 . . . . . . 7 ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)
73 fidcenumlemr.dc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
7431, 73syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
75 simpll 519 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → 𝑘 ∈ ω)
7674, 64, 75, 57, 67fidcenumlemrk 6852 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∨ ¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
7761, 72, 76mpjaodan 788 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin)) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁)) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)
7877exp31 362 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (((𝜑𝑘𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ Fin) → ((𝜑 ∧ suc 𝑘𝑁) → (𝐹 “ suc 𝑘) ∈ Fin)))
7911, 16, 21, 26, 30, 78finds 4523 . . . 4 (𝑁 ∈ ω → ((𝜑𝑁𝑁) → (𝐹𝑁) ∈ Fin))
806, 79mpcom 36 . . 3 ((𝜑𝑁𝑁) → (𝐹𝑁) ∈ Fin)
814, 80mpan2 422 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ Fin)
823, 81eqeltrrd 2218 1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   ∪ cun 3075   ⊆ wss 3077  ∅c0 3369  {csn 3533  suc csuc 4296  ωcom 4513   “ cima 4551   Fn wfn 5127  ⟶wf 5128  –onto→wfo 5130  ‘cfv 5132  Fincfn 6643 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-tr 4036  df-id 4224  df-iord 4297  df-on 4299  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-1o 6322  df-er 6438  df-en 6644  df-fin 6646 This theorem is referenced by:  fidcenum  6854
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