Theorem rneqi 5010

Description: Equality inference for range. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rneqi.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
rneqi	⊢ ran 𝐴 = ran 𝐵

Proof of Theorem rneqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneqi.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		rneq 5009	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ran 𝐴 = ran 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  ran crn 4775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785

This theorem is used by:  rnmpt  5030  resima  5096  resima2  5097  mptima  5138  ima0  5146  rnuni  5199  imaundi  5200  imaundir  5201  inimass  5204  dminxp  5232  imainrect  5233  xpima1  5234  xpima2m  5235  rnresv  5247  imacnvcnv  5252  rnpropg  5267  imadmres  5280  mptpreima  5281  dmco  5296  resdif  5661  fpr  5897  fprg  5898  fliftfuns  6004  rnoprab  6171  rnmpo  6199  qliftfuns  6893  xpassen  7128  sbthlemi6  7279  ennnfonelemrn  13362  cnconst2  15425  elply2  15927  iedgedgg  16468  edgiedgbg  16472  edg0iedg0g  16473  uhgrvtxedgiedgb  16550  uspgrf1oedg  16583  usgrf1oedg  16612  usgredg3  16621  ushgredgedg  16633  ushgredgedgloop  16635  0grsubgr  16671  edginwlkd  16762