Theorem ennnfonelem1 13248

Description: Lemma for ennnfone 13266. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		0nn0 9533	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 13247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})))
11		1e0p1 9773	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
12	11	fveq2i 5680	. . . . 5 ⊢ (𝐻‘1) = (𝐻‘(0 + 1))
13	12	eqcomi 2238	. . . 4 ⊢ (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1))
15		0zd 9611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
16	15, 5	frec2uz0d 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑁‘∅) = 0)
17	16	mptru 1407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘∅) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
19	18	mptru 1407	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
20		peano1 4723	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
21		0z 9610	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
22		uzid 9891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
24		f1ocnvfvb 5961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ ∅ ∈ ω ∧ 0 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅)
26	17, 25	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁‘0) = ∅
27	26	fveq2i 5680	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅)
28	26	imaeq2i 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) = (𝐹 “ ∅)
29	27, 28	eleq12i 2302	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅))
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 13246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
32	31	dmeqd 4965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅))
34	32, 33	opeq12d 3897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩ = ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩)
35	34	sneqd 3708	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩} = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
36	31, 35	uneq12d 3378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩}) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}))
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3654	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2275	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
39		noel 3516	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ ∅
40		ima0 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
41	40	eleq2i 2301	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅) ↔ (𝐹‘∅) ∈ ∅)
42	39, 41	mtbir 678	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)
43	42	iffalsei 3636	. . 3 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
44		uncom 3367	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅)
45		un0 3546	. . . 4 ⊢ ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
46	44, 45	eqtri 2255	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
47		dm0 4977	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
48	47	opeq1i 3892	. . . 4 ⊢ ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩
49	48	sneqi 3707	. . 3 ⊢ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
50	43, 46, 49	3eqtri 2259	. 2 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
51	38, 50	eqtrdi 2283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∪ cun 3212  ∅c0 3512  ifcif 3625  {csn 3695  ⟨cop 3698   ↦ cmpt 4177  suc csuc 4492  ωcom 4719  ^◡ccnv 4755  dom cdm 4756   “ cima 4759  –onto→wfo 5357  –1-1-onto→wf1o 5358  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060   ∈ cmpo 6062  freccfrec 6636   ↑_pm cpm 6898  0cc0 8145  1c1 8146   + caddc 8148   − cmin 8463  ℕ₀cn0 9518  ℤcz 9599  ℤ_≥cuz 9876  seqcseq 10838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-pm 6900  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-seqfrec 10839

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  13256