ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelem1 GIF version

Theorem ennnfonelem1 12407
Description: Lemma for ennnfone 12425. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelem1 (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelem1
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemh.f . . . 4 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemh.ne . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
4 ennnfonelemh.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
5 ennnfonelemh.n . . . 4 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6 ennnfonelemh.j . . . 4 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 ennnfonelemh.h . . . 4 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8 0nn0 9190 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
98a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9ennnfonelemp1 12406 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = if((𝐹‘(𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(𝑁‘0))⟩})))
11 1e0p1 9424 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
1211fveq2i 5518 . . . . 5 (𝐻‘1) = (𝐻‘(0 + 1))
1312eqcomi 2181 . . . 4 (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1)
1413a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1))
15 0zd 9264 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
1615, 5frec2uz0d 10398 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑁‘∅) = 0)
1716mptru 1362 . . . . . . . 8 (𝑁‘∅) = 0
1815, 5frec2uzf1od 10405 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ‘0))
1918mptru 1362 . . . . . . . . 9 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ‘0)
20 peano1 4593 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
21 0z 9263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
22 uzid 9541 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (ℤ‘0))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 ∈ (ℤ‘0)
24 f1ocnvfvb 5780 . . . . . . . . 9 ((𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ‘0) ∧ ∅ ∈ ω ∧ 0 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (𝑁‘0) = ∅))
2519, 20, 23, 24mp3an 1337 . . . . . . . 8 ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (𝑁‘0) = ∅)
2617, 25mpbi 145 . . . . . . 7 (𝑁‘0) = ∅
2726fveq2i 5518 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑁‘0)) = (𝐹‘∅)
2826imaeq2i 4968 . . . . . 6 (𝐹 “ (𝑁‘0)) = (𝐹 “ ∅)
2927, 28eleq12i 2245 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅))
3029a1i 9 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelem0 12405 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
3231dmeqd 4829 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
3327a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁‘0)) = (𝐹‘∅))
3432, 33opeq12d 3786 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(𝑁‘0))⟩ = ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩)
3534sneqd 3605 . . . . 5 (𝜑 → {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(𝑁‘0))⟩} = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
3631, 35uneq12d 3290 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(𝑁‘0))⟩}) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}))
3730, 31, 36ifbieq12d 3560 . . 3 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(𝑁‘0))⟩})) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
3810, 14, 373eqtr3d 2218 . 2 (𝜑 → (𝐻‘1) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
39 noel 3426 . . . . 5 ¬ (𝐹‘∅) ∈ ∅
40 ima0 4987 . . . . . 6 (𝐹 “ ∅) = ∅
4140eleq2i 2244 . . . . 5 ((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅) ↔ (𝐹‘∅) ∈ ∅)
4239, 41mtbir 671 . . . 4 ¬ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)
4342iffalsei 3543 . . 3 if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
44 uncom 3279 . . . 4 (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅)
45 un0 3456 . . . 4 ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
4644, 45eqtri 2198 . . 3 (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
47 dm0 4841 . . . . 5 dom ∅ = ∅
4847opeq1i 3781 . . . 4 ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩
4948sneqi 3604 . . 3 {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
5043, 46, 493eqtri 2202 . 2 if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
5138, 50eqtrdi 2226 1 (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wtru 1354  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  cun 3127  c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592  cop 3595  cmpt 4064  suc csuc 4365  ωcom 4589  ccnv 4625  dom cdm 4626  cima 4629  ontowfo 5214  1-1-ontowf1o 5215  cfv 5216  (class class class)co 5874  cmpo 5876  freccfrec 6390  pm cpm 6648  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813  cmin 8127  0cn0 9175  cz 9252  cuz 9527  seqcseq 10444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pm 6650  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445
This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  12415
  Copyright terms: Public domain W3C validator