Theorem ennnfonelem1 12778

Description: Lemma for ennnfone 12796. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		0nn0 9310	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 12777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})))
11		1e0p1 9545	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
12	11	fveq2i 5579	. . . . 5 ⊢ (𝐻‘1) = (𝐻‘(0 + 1))
13	12	eqcomi 2209	. . . 4 ⊢ (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1))
15		0zd 9384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
16	15, 5	frec2uz0d 10544	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑁‘∅) = 0)
17	16	mptru 1382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘∅) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
19	18	mptru 1382	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
20		peano1 4642	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
21		0z 9383	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
22		uzid 9662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
24		f1ocnvfvb 5849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ ∅ ∈ ω ∧ 0 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅)
26	17, 25	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁‘0) = ∅
27	26	fveq2i 5579	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅)
28	26	imaeq2i 5020	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) = (𝐹 “ ∅)
29	27, 28	eleq12i 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅))
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 12776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
32	31	dmeqd 4880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅))
34	32, 33	opeq12d 3827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩ = ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩)
35	34	sneqd 3646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩} = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
36	31, 35	uneq12d 3328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩}) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}))
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3597	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
39		noel 3464	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ ∅
40		ima0 5041	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
41	40	eleq2i 2272	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅) ↔ (𝐹‘∅) ∈ ∅)
42	39, 41	mtbir 673	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)
43	42	iffalsei 3580	. . 3 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
44		uncom 3317	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅)
45		un0 3494	. . . 4 ⊢ ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
46	44, 45	eqtri 2226	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
47		dm0 4892	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
48	47	opeq1i 3822	. . . 4 ⊢ ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩
49	48	sneqi 3645	. . 3 ⊢ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
50	43, 46, 49	3eqtri 2230	. 2 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
51	38, 50	eqtrdi 2254	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ∀wral 2484  ∃wrex 2485   ∪ cun 3164  ∅c0 3460  ifcif 3571  {csn 3633  ⟨cop 3636   ↦ cmpt 4105  suc csuc 4412  ωcom 4638  ^◡ccnv 4674  dom cdm 4675   “ cima 4678  –onto→wfo 5269  –1-1-onto→wf1o 5270  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944   ∈ cmpo 5946  freccfrec 6476   ↑_pm cpm 6736  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   − cmin 8243  ℕ₀cn0 9295  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648  seqcseq 10592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pm 6738  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  12786