Theorem ennnfonelem1 11920

Description: Lemma for ennnfone 11938. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		0nn0 8992	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 11919	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})))
11		1e0p1 9223	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
12	11	fveq2i 5424	. . . . 5 ⊢ (𝐻‘1) = (𝐻‘(0 + 1))
13	12	eqcomi 2143	. . . 4 ⊢ (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1))
15		0zd 9066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
16	15, 5	frec2uz0d 10172	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑁‘∅) = 0)
17	16	mptru 1340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘∅) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
19	18	mptru 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
20		peano1 4508	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
21		0z 9065	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
22		uzid 9340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
24		f1ocnvfvb 5681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ ∅ ∈ ω ∧ 0 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅)
26	17, 25	mpbi 144	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁‘0) = ∅
27	26	fveq2i 5424	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅)
28	26	imaeq2i 4879	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) = (𝐹 “ ∅)
29	27, 28	eleq12i 2207	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅))
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 11918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
32	31	dmeqd 4741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅))
34	32, 33	opeq12d 3713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩ = ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩)
35	34	sneqd 3540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩} = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
36	31, 35	uneq12d 3231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩}) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}))
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3498	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2180	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
39		noel 3367	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ ∅
40		ima0 4898	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
41	40	eleq2i 2206	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅) ↔ (𝐹‘∅) ∈ ∅)
42	39, 41	mtbir 660	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)
43	42	iffalsei 3483	. . 3 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
44		uncom 3220	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅)
45		un0 3396	. . . 4 ⊢ ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
46	44, 45	eqtri 2160	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
47		dm0 4753	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
48	47	opeq1i 3708	. . . 4 ⊢ ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩
49	48	sneqi 3539	. . 3 ⊢ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
50	43, 46, 49	3eqtri 2164	. 2 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
51	38, 50	syl6eq 2188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331  ⊤wtru 1332   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ∪ cun 3069  ∅c0 3363  ifcif 3474  {csn 3527  ⟨cop 3530   ↦ cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  ^◡ccnv 4538  dom cdm 4539   “ cima 4542  –onto→wfo 5121  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  freccfrec 6287   ↑_pm cpm 6543  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   − cmin 7933  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  11928