Theorem ennnfonelem1 13279

Description: Lemma for ennnfone 13297. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		0nn0 9560	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 13278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})))
11		1e0p1 9800	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
12	11	fveq2i 5696	. . . . 5 ⊢ (𝐻‘1) = (𝐻‘(0 + 1))
13	12	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1))
15		0zd 9638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
16	15, 5	frec2uz0d 10817	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑁‘∅) = 0)
17	16	mptru 1411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘∅) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
19	18	mptru 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
20		peano1 4739	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
21		0z 9637	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
22		uzid 9918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
24		f1ocnvfvb 5979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ ∅ ∈ ω ∧ 0 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅)
26	17, 25	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁‘0) = ∅
27	26	fveq2i 5696	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅)
28	26	imaeq2i 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) = (𝐹 “ ∅)
29	27, 28	eleq12i 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅))
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 13277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
32	31	dmeqd 4981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅))
34	32, 33	opeq12d 3910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩ = ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩)
35	34	sneqd 3721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩} = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
36	31, 35	uneq12d 3384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩}) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}))
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3667	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
39		noel 3525	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ ∅
40		ima0 5144	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
41	40	eleq2i 2305	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅) ↔ (𝐹‘∅) ∈ ∅)
42	39, 41	mtbir 682	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)
43	42	iffalsei 3649	. . 3 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
44		uncom 3373	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅)
45		un0 3556	. . . 4 ⊢ ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
46	44, 45	eqtri 2259	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
47		dm0 4993	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
48	47	opeq1i 3905	. . . 4 ⊢ ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩
49	48	sneqi 3720	. . 3 ⊢ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
50	43, 46, 49	3eqtri 2263	. 2 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
51	38, 50	eqtrdi 2287	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∪ cun 3218  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3708  ⟨cop 3711   ↦ cmpt 4190  suc csuc 4508  ωcom 4735  ^◡ccnv 4771  dom cdm 4772   “ cima 4775  –onto→wfo 5373  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078   ∈ cmpo 6080  freccfrec 6654   ↑_pm cpm 6916  0cc0 8172  1c1 8173   + caddc 8175   − cmin 8490  ℕ₀cn0 9545  ℤcz 9626  ℤ_≥cuz 9903  seqcseq 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pm 6918  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-seqfrec 10866

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  13287