Theorem ennnfonelem1 12564

Description: Lemma for ennnfone 12582. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		0nn0 9255	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 12563	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})))
11		1e0p1 9489	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
12	11	fveq2i 5557	. . . . 5 ⊢ (𝐻‘1) = (𝐻‘(0 + 1))
13	12	eqcomi 2197	. . . 4 ⊢ (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0 + 1)) = (𝐻‘1))
15		0zd 9329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
16	15, 5	frec2uz0d 10470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑁‘∅) = 0)
17	16	mptru 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘∅) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
19	18	mptru 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
20		peano1 4626	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
21		0z 9328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
22		uzid 9606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
24		f1ocnvfvb 5823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ ∅ ∈ ω ∧ 0 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘∅) = 0 ↔ (◡𝑁‘0) = ∅)
26	17, 25	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁‘0) = ∅
27	26	fveq2i 5557	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅)
28	26	imaeq2i 5003	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) = (𝐹 “ ∅)
29	27, 28	eleq12i 2261	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅))
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)) ↔ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 12562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
32	31	dmeqd 4864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝑁‘0)) = (𝐹‘∅))
34	32, 33	opeq12d 3812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩ = ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩)
35	34	sneqd 3631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩} = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
36	31, 35	uneq12d 3314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩}) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}))
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3583	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(◡𝑁‘0)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘0)), (𝐻‘0), ((𝐻‘0) ∪ {⟨dom (𝐻‘0), (𝐹‘(◡𝑁‘0))⟩})) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})))
39		noel 3450	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ ∅
40		ima0 5024	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
41	40	eleq2i 2260	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅) ↔ (𝐹‘∅) ∈ ∅)
42	39, 41	mtbir 672	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅)
43	42	iffalsei 3566	. . 3 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})
44		uncom 3303	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅)
45		un0 3480	. . . 4 ⊢ ({⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} ∪ ∅) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
46	44, 45	eqtri 2214	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}) = {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩}
47		dm0 4876	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
48	47	opeq1i 3807	. . . 4 ⊢ ⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩
49	48	sneqi 3630	. . 3 ⊢ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
50	43, 46, 49	3eqtri 2218	. 2 ⊢ if((𝐹‘∅) ∈ (𝐹 “ ∅), ∅, (∅ ∪ {⟨dom ∅, (𝐹‘∅)⟩})) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}
51	38, 50	eqtrdi 2242	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∪ cun 3151  ∅c0 3446  ifcif 3557  {csn 3618  ⟨cop 3621   ↦ cmpt 4090  suc csuc 4396  ωcom 4622  ^◡ccnv 4658  dom cdm 4659   “ cima 4662  –onto→wfo 5252  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ∈ cmpo 5920  freccfrec 6443   ↑_pm cpm 6703  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   − cmin 8190  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  12572