Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidcenumlemrk GIF version

Theorem fidcenumlemrk 6855
 Description: Lemma for fidcenum 6857. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fidcenumlemr.dc (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
fidcenumlemr.f (𝜑𝐹:𝑁onto𝐴)
fidcenumlemrk.k (𝜑𝐾 ∈ ω)
fidcenumlemrk.kn (𝜑𝐾𝑁)
fidcenumlemrk.x (𝜑𝑋𝐴)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemrk (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fidcenumlemrk
Dummy variables 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemrk.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ ω)
2 fidcenumlemrk.kn . . 3 (𝜑𝐾𝑁)
32ancli 321 . 2 (𝜑 → (𝜑𝐾𝑁))
4 sseq1 3126 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑁 ↔ ∅ ⊆ 𝑁))
54anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁)))
6 imaeq2 4887 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝐹𝑤) = (𝐹 “ ∅))
76eleq2d 2210 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)))
87notbid 657 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)))
97, 8orbi12d 783 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅))))
105, 9imbi12d 233 . . 3 (𝑤 = ∅ → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤))) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)))))
11 sseq1 3126 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (𝑤𝑁𝑗𝑁))
1211anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = 𝑗 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑𝑗𝑁)))
13 imaeq2 4887 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑗 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑗))
1413eleq2d 2210 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))
1514notbid 657 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))
1614, 15orbi12d 783 . . . 4 (𝑤 = 𝑗 → ((𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗))))
1712, 16imbi12d 233 . . 3 (𝑤 = 𝑗 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤))) ↔ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))))
18 sseq1 3126 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (𝑤𝑁 ↔ suc 𝑗𝑁))
1918anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)))
20 imaeq2 4887 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑗 → (𝐹𝑤) = (𝐹 “ suc 𝑗))
2120eleq2d 2210 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))
2221notbid 657 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))
2321, 22orbi12d 783 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗))))
2419, 23imbi12d 233 . . 3 (𝑤 = suc 𝑗 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤))) ↔ ((𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))))
25 sseq1 3126 . . . . 5 (𝑤 = 𝐾 → (𝑤𝑁𝐾𝑁))
2625anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = 𝐾 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑𝐾𝑁)))
27 imaeq2 4887 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐾 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐾))
2827eleq2d 2210 . . . . 5 (𝑤 = 𝐾 → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))
2928notbid 657 . . . . 5 (𝑤 = 𝐾 → (¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))
3028, 29orbi12d 783 . . . 4 (𝑤 = 𝐾 → ((𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾))))
3126, 30imbi12d 233 . . 3 (𝑤 = 𝐾 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤))) ↔ ((𝜑𝐾𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))))
32 noel 3373 . . . . . 6 ¬ 𝑋 ∈ ∅
33 ima0 4908 . . . . . . 7 (𝐹 “ ∅) = ∅
3433eleq2i 2207 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅) ↔ 𝑋 ∈ ∅)
3532, 34mtbir 661 . . . . 5 ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)
3635a1i 9 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅))
3736olcd 724 . . 3 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)))
38 fidcenumlemr.dc . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
3938ad2antrl 482 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
40 fidcenumlemr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑁onto𝐴)
4140ad2antrl 482 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝐹:𝑁onto𝐴)
42 simpll 519 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝑗 ∈ ω)
43 simprr 522 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → suc 𝑗𝑁)
44 simprl 521 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝜑)
45 sssucid 4346 . . . . . . 7 𝑗 ⊆ suc 𝑗
4645, 43sstrid 3114 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
47 simplr 520 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗))))
4844, 46, 47mp2and 430 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))
49 fidcenumlemrk.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
5049ad2antrl 482 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝑋𝐴)
5139, 41, 42, 43, 48, 50fidcenumlemrks 6854 . . . 4 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))
5251exp31 362 . . 3 (𝑗 ∈ ω → (((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗))) → ((𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))))
5310, 17, 24, 31, 37, 52finds 4523 . 2 (𝐾 ∈ ω → ((𝜑𝐾𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾))))
541, 3, 53sylc 62 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   ⊆ wss 3077  ∅c0 3369  suc csuc 4296  ωcom 4513   “ cima 4552  –onto→wfo 5131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-iinf 4511 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-rn 4560  df-res 4561  df-ima 4562  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fn 5136  df-f 5137  df-fo 5139  df-fv 5141 This theorem is referenced by:  fidcenumlemr  6856  ennnfonelemdc  11971
 Copyright terms: Public domain W3C validator