ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidcenumlemrk GIF version

Theorem fidcenumlemrk 6943
Description: Lemma for fidcenum 6945. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fidcenumlemr.dc (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
fidcenumlemr.f (𝜑𝐹:𝑁onto𝐴)
fidcenumlemrk.k (𝜑𝐾 ∈ ω)
fidcenumlemrk.kn (𝜑𝐾𝑁)
fidcenumlemrk.x (𝜑𝑋𝐴)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemrk (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fidcenumlemrk
Dummy variables 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidcenumlemrk.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ ω)
2 fidcenumlemrk.kn . . 3 (𝜑𝐾𝑁)
32ancli 323 . 2 (𝜑 → (𝜑𝐾𝑁))
4 sseq1 3176 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑁 ↔ ∅ ⊆ 𝑁))
54anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁)))
6 imaeq2 4959 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝐹𝑤) = (𝐹 “ ∅))
76eleq2d 2245 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)))
87notbid 667 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)))
97, 8orbi12d 793 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅))))
105, 9imbi12d 234 . . 3 (𝑤 = ∅ → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤))) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)))))
11 sseq1 3176 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (𝑤𝑁𝑗𝑁))
1211anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 𝑗 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑𝑗𝑁)))
13 imaeq2 4959 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑗 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑗))
1413eleq2d 2245 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))
1514notbid 667 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))
1614, 15orbi12d 793 . . . 4 (𝑤 = 𝑗 → ((𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗))))
1712, 16imbi12d 234 . . 3 (𝑤 = 𝑗 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤))) ↔ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))))
18 sseq1 3176 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (𝑤𝑁 ↔ suc 𝑗𝑁))
1918anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)))
20 imaeq2 4959 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑗 → (𝐹𝑤) = (𝐹 “ suc 𝑗))
2120eleq2d 2245 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))
2221notbid 667 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))
2321, 22orbi12d 793 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗))))
2419, 23imbi12d 234 . . 3 (𝑤 = suc 𝑗 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤))) ↔ ((𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))))
25 sseq1 3176 . . . . 5 (𝑤 = 𝐾 → (𝑤𝑁𝐾𝑁))
2625anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 𝐾 → ((𝜑𝑤𝑁) ↔ (𝜑𝐾𝑁)))
27 imaeq2 4959 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐾 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐾))
2827eleq2d 2245 . . . . 5 (𝑤 = 𝐾 → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))
2928notbid 667 . . . . 5 (𝑤 = 𝐾 → (¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))
3028, 29orbi12d 793 . . . 4 (𝑤 = 𝐾 → ((𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾))))
3126, 30imbi12d 234 . . 3 (𝑤 = 𝐾 → (((𝜑𝑤𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑤) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑤))) ↔ ((𝜑𝐾𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))))
32 noel 3424 . . . . . 6 ¬ 𝑋 ∈ ∅
33 ima0 4980 . . . . . . 7 (𝐹 “ ∅) = ∅
3433eleq2i 2242 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅) ↔ 𝑋 ∈ ∅)
3532, 34mtbir 671 . . . . 5 ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)
3635a1i 9 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅))
3736olcd 734 . . 3 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ ∅)))
38 fidcenumlemr.dc . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
3938ad2antrl 490 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
40 fidcenumlemr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑁onto𝐴)
4140ad2antrl 490 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝐹:𝑁onto𝐴)
42 simpll 527 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝑗 ∈ ω)
43 simprr 531 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → suc 𝑗𝑁)
44 simprl 529 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝜑)
45 sssucid 4409 . . . . . . 7 𝑗 ⊆ suc 𝑗
4645, 43sstrid 3164 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
47 simplr 528 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗))))
4844, 46, 47mp2and 433 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))
49 fidcenumlemrk.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
5049ad2antrl 490 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → 𝑋𝐴)
5139, 41, 42, 43, 48, 50fidcenumlemrks 6942 . . . 4 (((𝑗 ∈ ω ∧ ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗)))) ∧ (𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁)) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))
5251exp31 364 . . 3 (𝑗 ∈ ω → (((𝜑𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝑗))) → ((𝜑 ∧ suc 𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 “ suc 𝑗)))))
5310, 17, 24, 31, 37, 52finds 4593 . 2 (𝐾 ∈ ω → ((𝜑𝐾𝑁) → (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾))))
541, 3, 53sylc 62 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹𝐾) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2146  wral 2453  wss 3127  c0 3420  suc csuc 4359  ωcom 4583  cima 4623  ontowfo 5206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fo 5214  df-fv 5216
This theorem is referenced by:  fidcenumlemr  6944  ennnfonelemdc  12365
  Copyright terms: Public domain W3C validator