Theorem lt0ne0 7809

Description: A number which is less than zero is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltne 7473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
2	1	necomd 2335	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2249   class class class wbr 3811  ℝcr 7252  0cc0 7253   < clt 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-pre-ltirr 7360

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430

This theorem is referenced by: (None)