HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 84 of 150)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 8301-8400   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremsubsub4d 8301 Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ ๐ถ) = (๐ด โˆ’ (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremsub32d 8302 Swap the second and third terms in a double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ ๐ถ) = ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ ๐ต))
 
Theoremnnncand 8303 Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ๐ถ) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
 
Theoremnnncan1d 8304 Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ถ)) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
 
Theoremnnncan2d 8305 Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
 
Theoremnpncan3d 8306 Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
 
Theorempnpcand 8307 Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ถ)) = (๐ต โˆ’ ๐ถ))
 
Theorempnpcan2d 8308 Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ต + ๐ถ)) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
 
Theorempnncand 8309 Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ถ)) = (๐ต + ๐ถ))
 
Theoremppncand 8310 Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ด + ๐ถ))
 
Theoremsubcand 8311 Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
 
Theoremsubcan2d 8312 Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) = (๐ต โˆ’ ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremsubcanad 8313 Cancellation law for subtraction. Deduction form of subcan 8214. Generalization of subcand 8311. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
 
Theoremsubneintrd 8314 Introducing subtraction on both sides of a statement of inequality. Contrapositive of subcand 8311. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰  (๐ด โˆ’ ๐ถ))
 
Theoremsubcan2ad 8315 Cancellation law for subtraction. Deduction form of subcan2 8184. Generalization of subcan2d 8312. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ) = (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremsubneintr2d 8316 Introducing subtraction on both sides of a statement of inequality. Contrapositive of subcan2d 8312. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰  (๐ต โˆ’ ๐ถ))
 
Theoremaddsub4d 8317 Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ด โˆ’ ๐ถ) + (๐ต โˆ’ ๐ท)))
 
Theoremsubadd4d 8318 Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) โˆ’ (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremsub4d 8319 Rearrangement of 4 terms in a subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐ท)))
 
Theorem2addsubd 8320 Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ) โˆ’ ๐ท) = (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ ๐ท) + ๐ต))
 
Theoremaddsubeq4d 8321 Relation between sums and differences. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท) โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ด) = (๐ต โˆ’ ๐ท)))
 
Theoremsubeqxfrd 8322 Transfer two terms of a subtraction in an equality. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถ โˆ’ ๐ท))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) = (๐ต โˆ’ ๐ท))
 
Theoremmvlraddd 8323 Move LHS right addition to RHS. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
 
Theoremmvlladdd 8324 Move LHS left addition to RHS. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
 
Theoremmvrraddd 8325 Move RHS right addition to LHS. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ต + ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) = ๐ต)
 
Theoremmvrladdd 8326 Move RHS left addition to LHS. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ต + ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = ๐ถ)
 
Theoremassraddsubd 8327 Associate RHS addition-subtraction. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ ๐ท))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ต + (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
 
Theoremsubaddeqd 8328 Transfer two terms of a subtraction to an addition in an equality. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
 
Theoremaddlsub 8329 Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ด = (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremaddrsub 8330 Right-subtraction: Subtraction of the right summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ต = (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremsubexsub 8331 A subtraction law: Exchanging the subtrahend and the result of the subtraction. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต = (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremaddid0 8332 If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)
((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) = ๐‘‹ โ†” ๐‘Œ = 0))
 
Theoremaddn0nid 8333 Adding a nonzero number to a complex number does not yield the complex number. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)
((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Œ โ‰  0) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โ‰  ๐‘‹)
 
Theorempnpncand 8334 Addition/subtraction cancellation law. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + (๐ต โˆ’ ๐ถ)) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ๐ด)
 
Theoremsubeqrev 8335 Reverse the order of subtraction in an equality. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2013.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถ โˆ’ ๐ท) โ†” (๐ต โˆ’ ๐ด) = (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
 
Theorempncan1 8336 Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
 
Theoremnpcan1 8337 Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + 1) = ๐ด)
 
Theoremsubeq0bd 8338 If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 8280. Converse of subeq0d 8278. Contrapositive of subne0ad 8281. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = 0)
 
Theoremrenegcld 8339 Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
 
Theoremresubcld 8340 Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
 
Theoremnegf1o 8341* Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐‘ฅ)    โ‡’   (๐ด โІ โ„ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘› โˆˆ โ„ โˆฃ -๐‘› โˆˆ ๐ด})
 
4.3.3  Multiplication
 
Theoremkcnktkm1cn 8342 k times k minus 1 is a complex number if k is a complex number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.)
(๐พ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremmuladd 8343 Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
 
Theoremsubdi 8344 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
 
Theoremsubdir 8345 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremmul02 8346 Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
 
Theoremmul02lem2 8347 Zero times a real is zero. Although we prove it as a corollary of mul02 8346, the name is for consistency with the Metamath Proof Explorer which proves it before mul02 8346. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
 
Theoremmul01 8348 Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
 
Theoremmul02i 8349 Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (0 ยท ๐ด) = 0
 
Theoremmul01i 8350 Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด ยท 0) = 0
 
Theoremmul02d 8351 Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
 
Theoremmul01d 8352 Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
 
Theoremine0 8353 The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
i โ‰  0
 
Theoremmulneg1 8354 Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmulneg2 8355 The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmulneg12 8356 Swap the negative sign in a product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท -๐ต))
 
Theoremmul2neg 8357 Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremsubmul2 8358 Convert a subtraction to addition using multiplication by a negative. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด + (๐ต ยท -๐ถ)))
 
Theoremmulm1 8359 Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
 
Theoremmulsub 8360 Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
 
Theoremmulsub2 8361 Swap the order of subtraction in a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremmulm1i 8362 Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (-1 ยท ๐ด) = -๐ด
 
Theoremmulneg1i 8363 Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)
 
Theoremmulneg2i 8364 Product with negative is negative of product. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)
 
Theoremmul2negi 8365 Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)
 
Theoremsubdii 8366 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Nov-1994.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ))
 
Theoremsubdiri 8367 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 8-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    โ‡’   ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremmuladdi 8368 Product of two sums. (Contributed by NM, 17-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ท โˆˆ โ„‚    โ‡’   ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremmulm1d 8369 Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
 
Theoremmulneg1d 8370 Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmulneg2d 8371 Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmul2negd 8372 Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremsubdid 8373 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
 
Theoremsubdird 8374 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremmuladdd 8375 Product of two sums. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
 
Theoremmulsubd 8376 Product of two differences. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
 
Theoremmulsubfacd 8377 Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐ต))
 
4.3.4  Ordering on reals (cont.)
 
Theoremltadd2 8378 Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ + ๐ด) < (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremltadd2i 8379 Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ + ๐ด) < (๐ถ + ๐ต))
 
Theoremltadd2d 8380 Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ + ๐ด) < (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremltadd2dd 8381 Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ด) < (๐ถ + ๐ต))
 
Theoremltletrd 8382 Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ถ)
 
Theoremltaddneg 8383 Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < 0 โ†” (๐ต + ๐ด) < ๐ต))
 
Theoremltaddnegr 8384 Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < 0 โ†” (๐ด + ๐ต) < ๐ต))
 
Theoremlelttrdi 8385 If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)
(๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ ๐ด < ๐ถ))
 
Theoremgt0ne0 8386 Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
 
Theoremlt0ne0 8387 A number which is less than zero is not zero. See also lt0ap0 8607 which is similar but for apartness. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
 
Theoremltadd1 8388 Addition to both sides of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) < (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremleadd1 8389 Addition to both sides of 'less than or equal to'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) โ‰ค (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremleadd2 8390 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ + ๐ด) โ‰ค (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremltsubadd 8391 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremltsubadd2 8392 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremlesubadd 8393 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremlesubadd2 8394 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremltaddsub 8395 'Less than' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremltaddsub2 8396 'Less than' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ต < (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremleaddsub 8397 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremleaddsub2 8398 'Less than or equal to' relationship between and addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ต โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremsuble 8399 Swap subtrahends in an inequality. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰ค ๐ต))
 
Theoremlesub 8400 Swap subtrahends in an inequality. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐ถ โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ด)))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-14917
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >