Theorem fnmpt 5381

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 2557	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 5380	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 122	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760   ↦ cmpt 4091   Fn wfn 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-fun 5257  df-fn 5258

This theorem is referenced by:  mpt0  5382  fnmptfvd  5663  ralrnmpt  5701  rexrnmpt  5702  fmpt  5709  fmpt2d  5721  f1ocnvd  6122  offval2  6148  ofrfval2  6149  caofinvl  6157  f1od2  6290  frectfr  6455  omfnex  6504  oeiv  6511  mptelixpg  6790  fifo  7041  nnnninfeq  7189  nninfwlporlemd  7233  cc2lem  7328  seqf1og  10595  efcvgfsum  11813  quslem  12910  grpinvfng  13119  conjnmz  13352  neif  14320  tgrest  14348  dvrecap  14892  gausslemma2dlem1f1o  15217  fnmptd  15366