Theorem fnmpt 5423

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2789	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 2571	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 5422	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 122	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  Vcvv 2777   ↦ cmpt 4122   Fn wfn 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-fun 5293  df-fn 5294

This theorem is referenced by:  mpt0  5424  fnmptfvd  5709  ralrnmpt  5747  rexrnmpt  5748  fmpt  5755  fmpt2d  5767  f1ocnvd  6173  offval2  6199  ofrfval2  6200  caofinvl  6209  f1od2  6346  frectfr  6511  omfnex  6560  oeiv  6567  mptelixpg  6846  fifo  7110  nnnninfeq  7258  nninfwlporlemd  7302  cc2lem  7415  seqf1og  10705  ccatlen  11091  ccatvalfn  11097  swrdlen  11145  swrdwrdsymbg  11157  swrdswrd  11198  efcvgfsum  12139  prdsbas3  13280  prdsbascl  13282  quslem  13317  grpinvfng  13537  conjnmz  13776  neif  14774  tgrest  14802  dvrecap  15346  gausslemma2dlem1f1o  15698  fnmptd  16048