ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnmpt GIF version

Theorem fnmpt 5338
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
fnmpt (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . . 3 (𝐵𝑉𝐵 ∈ V)
21ralimi 2540 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 mptfng.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
43mptfng 5337 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
52, 4sylib 122 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  cmpt 4061   Fn wfn 5207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-fun 5214  df-fn 5215
This theorem is referenced by:  mpt0  5339  fnmptfvd  5616  ralrnmpt  5654  rexrnmpt  5655  fmpt  5662  fmpt2d  5674  f1ocnvd  6067  offval2  6092  ofrfval2  6093  caofinvl  6099  f1od2  6230  frectfr  6395  omfnex  6444  oeiv  6451  mptelixpg  6728  fifo  6973  nnnninfeq  7120  nninfwlporlemd  7164  cc2lem  7253  efcvgfsum  11656  grpinvfng  12804  neif  13301  tgrest  13329  dvrecap  13837  fnmptd  14205
  Copyright terms: Public domain W3C validator