ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnmpt GIF version

Theorem fnmpt 5252
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
fnmpt (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 2697 . . 3 (𝐵𝑉𝐵 ∈ V)
21ralimi 2495 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 mptfng.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
43mptfng 5251 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
52, 4sylib 121 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  Vcvv 2686  cmpt 3992   Fn wfn 5121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-fun 5128  df-fn 5129
This theorem is referenced by:  mpt0  5253  ralrnmpt  5565  rexrnmpt  5566  fmpt  5573  fmpt2d  5585  f1ocnvd  5975  offval2  6000  ofrfval2  6001  caofinvl  6007  f1od2  6135  frectfr  6300  omfnex  6348  oeiv  6355  mptelixpg  6631  fifo  6871  cc2lem  7093  efcvgfsum  11397  neif  12336  tgrest  12364  dvrecap  12872  nninfalllemn  13350
  Copyright terms: Public domain W3C validator