Theorem fnmpt 5510

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 2613	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 5509	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 122	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4192   Fn wfn 5372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-fun 5379  df-fn 5380

This theorem is used by:  mpt0  5511  fnmptfvd  5813  ralrnmpt  5850  rexrnmpt  5851  fmpt  5858  fmpt2d  5870  f1ocnvd  6292  f1o3d  6298  offval2  6318  ofrfval2  6319  caofinvl  6328  f1od2  6471  frectfr  6671  omfnex  6722  oeiv  6729  mptelixpg  7016  fifo  7314  nnnninfeq  7468  nninfwlporlemd  7512  cc2lem  7632  seqf1og  10958  ccatlen  11363  ccatvalfn  11369  swrdlen  11424  swrdwrdsymbg  11436  swrdswrd  11477  efcvgfsum  12434  quslem  13645  grpinvfng  13849  conjnmz  14082  prdsbas3  14187  prdsbascl  14189  rrgsupp  14574  asclfnd  15023  neif  15242  tgrest  15270  dvrecap  15814  gausslemma2dlem1f1o  16179  fnmptd  16832