Theorem fnmpt 5449

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 2593	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 5448	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 122	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ↦ cmpt 4144   Fn wfn 5312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-fun 5319  df-fn 5320

This theorem is referenced by:  mpt0  5450  fnmptfvd  5738  ralrnmpt  5776  rexrnmpt  5777  fmpt  5784  fmpt2d  5796  f1ocnvd  6206  offval2  6232  ofrfval2  6233  caofinvl  6242  f1od2  6379  frectfr  6544  omfnex  6593  oeiv  6600  mptelixpg  6879  fifo  7143  nnnninfeq  7291  nninfwlporlemd  7335  cc2lem  7448  seqf1og  10738  ccatlen  11125  ccatvalfn  11131  swrdlen  11179  swrdwrdsymbg  11191  swrdswrd  11232  efcvgfsum  12173  prdsbas3  13315  prdsbascl  13317  quslem  13352  grpinvfng  13572  conjnmz  13811  neif  14809  tgrest  14837  dvrecap  15381  gausslemma2dlem1f1o  15733  fnmptd  16126