Theorem fnmpt 5417

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2785	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 2570	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 5416	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 122	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773   ↦ cmpt 4116   Fn wfn 5280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-fun 5287  df-fn 5288

This theorem is referenced by:  mpt0  5418  fnmptfvd  5702  ralrnmpt  5740  rexrnmpt  5741  fmpt  5748  fmpt2d  5760  f1ocnvd  6166  offval2  6192  ofrfval2  6193  caofinvl  6202  f1od2  6339  frectfr  6504  omfnex  6553  oeiv  6560  mptelixpg  6839  fifo  7103  nnnninfeq  7251  nninfwlporlemd  7295  cc2lem  7408  seqf1og  10698  ccatlen  11084  ccatvalfn  11090  swrdlen  11138  swrdwrdsymbg  11150  swrdswrd  11191  efcvgfsum  12063  prdsbas3  13204  prdsbascl  13206  quslem  13241  grpinvfng  13461  conjnmz  13700  neif  14698  tgrest  14726  dvrecap  15270  gausslemma2dlem1f1o  15622  fnmptd  15910