ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnmpt GIF version

Theorem fnmpt 5324
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
fnmpt (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 2741 . . 3 (𝐵𝑉𝐵 ∈ V)
21ralimi 2533 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 mptfng.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
43mptfng 5323 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
52, 4sylib 121 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  Vcvv 2730  cmpt 4050   Fn wfn 5193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-fun 5200  df-fn 5201
This theorem is referenced by:  mpt0  5325  fnmptfvd  5600  ralrnmpt  5638  rexrnmpt  5639  fmpt  5646  fmpt2d  5658  f1ocnvd  6051  offval2  6076  ofrfval2  6077  caofinvl  6083  f1od2  6214  frectfr  6379  omfnex  6428  oeiv  6435  mptelixpg  6712  fifo  6957  nnnninfeq  7104  nninfwlporlemd  7148  cc2lem  7228  efcvgfsum  11630  grpinvfng  12747  neif  12935  tgrest  12963  dvrecap  13471  fnmptd  13839
  Copyright terms: Public domain W3C validator