Theorem fnmpti 5452

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnmpti.1	⊢ 𝐵 ∈ V
fnmpti.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpti	⊢ 𝐹 Fn 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpti.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 2585	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		fnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 5449	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	mpbi 145	1 ⊢ 𝐹 Fn 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ↦ cmpt 4145   Fn wfn 5313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-fun 5320  df-fn 5321

This theorem is referenced by:  dmmpti  5453  fconst  5523  eufnfv  5874  idref  5886  fo1st  6309  fo2nd  6310  reldm  6338  oafnex  6598  fnoei  6606  oeiexg  6607  mapsnf1o2  6851  nninfctlemfo  12576  1arith  12905  slotslfn  13073  topnfn  13292  fn0g  13423  fnmgp  13900  rlmfn  14432  blfn  14530  fncld  14787  xmetunirn  15047  nnnninfex  16448  nninfnfiinf  16449