Theorem dmres 4989

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Proof of Theorem dmres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm2 4885	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵))
3		19.41v 1927	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		vex 2776	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	4	opelres 4973	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	exbii 1629	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
7	1	eldm2 4885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	7	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	3, 6, 8	3bitr4i 212	. . . 4 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	2, 9	bitr2i 185	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵))
11	10	ineqri 3370	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = dom (𝐴 ↾ 𝐵)
12		incom 3369	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
13	11, 12	eqtr3i 2229	1 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177   ∩ cin 3169  ⟨cop 3641  dom cdm 4683   ↾ cres 4685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-dm 4693  df-res 4695

This theorem is referenced by:  ssdmres  4990  dmresexg  4991  imadisj  5053  ndmima  5068  imainrect  5137  dmresv  5150  resdmres  5183  funimacnv  5359  fnresdisj  5395  fnres  5402  ssimaex  5653  fnreseql  5703  respreima  5721  ffvresb  5756  fsnunfv  5798  funfvima  5829  offres  6233  smores  6391  smores3  6392  smores2  6393  fnfi  7053  sbthlemi5  7078  sbthlem7  7080  dmaddpi  7458  dmmulpi  7459  fvsetsid  12941  setsfun  12942  setsfun0  12943  setsresg  12945  lmres  14795  metreslem  14927