Theorem dmres 4946

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Proof of Theorem dmres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm2 4843	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵))
3		19.41v 1914	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		vex 2755	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	4	opelres 4930	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	exbii 1616	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
7	1	eldm2 4843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	7	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	3, 6, 8	3bitr4i 212	. . . 4 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	2, 9	bitr2i 185	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵))
11	10	ineqri 3343	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = dom (𝐴 ↾ 𝐵)
12		incom 3342	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
13	11, 12	eqtr3i 2212	1 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160   ∩ cin 3143  ⟨cop 3610  dom cdm 4644   ↾ cres 4646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-dm 4654  df-res 4656

This theorem is referenced by:  ssdmres  4947  dmresexg  4948  imadisj  5008  ndmima  5023  imainrect  5092  dmresv  5105  resdmres  5138  funimacnv  5311  fnresdisj  5345  fnres  5351  ssimaex  5598  fnreseql  5647  respreima  5665  ffvresb  5700  fsnunfv  5738  funfvima  5769  offres  6160  smores  6317  smores3  6318  smores2  6319  fnfi  6966  sbthlemi5  6990  sbthlem7  6992  dmaddpi  7354  dmmulpi  7355  fvsetsid  12546  setsfun  12547  setsfun0  12548  setsresg  12550  lmres  14205  metreslem  14337