Theorem dmres 5079

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Proof of Theorem dmres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm2 4974	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵))
3		19.41v 1958	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		vex 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	4	opelres 5063	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	exbii 1658	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
7	1	eldm2 4974	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	7	anbi1i 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	3, 6, 8	3bitr4i 212	. . . 4 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	2, 9	bitr2i 185	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵))
11	10	ineqri 3424	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = dom (𝐴 ↾ 𝐵)
12		incom 3421	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
13	11, 12	eqtr3i 2261	1 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219  ⟨cop 3708  dom cdm 4769   ↾ cres 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-dm 4779  df-res 4781

This theorem is referenced by:  ssdmres  5080  dmresexg  5081  imadisj  5144  ndmima  5159  imainrect  5228  dmresv  5241  resdmres  5274  funimacnv  5452  fnresdisj  5488  fnres  5495  ssimaex  5758  fnreseql  5810  respreima  5827  ffvresb  5862  fsnunfv  5907  funfvima  5940  offres  6358  ressuppss  6484  smores  6553  smores3  6554  smores2  6555  fnfi  7240  sbthlemi5  7268  sbthlem7  7270  dmaddpi  7682  dmmulpi  7683  fvsetsid  13364  setsfun  13365  setsfun0  13366  setsresg  13368  bassetsnn  13387  lmres  15272  metreslem  15404  uhgrspansubgrlem  16431  trlsegvdeglem4  16618