ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmres GIF version

Theorem dmres 4928
Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmres dom (𝐴𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Proof of Theorem dmres
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2740 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21eldm2 4825 . . . 4 (𝑥 ∈ dom (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴𝐵))
3 19.41v 1902 . . . . 5 (∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴𝑥𝐵) ↔ (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴𝑥𝐵))
4 vex 2740 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
54opelres 4912 . . . . . 6 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴𝑥𝐵))
65exbii 1605 . . . . 5 (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴𝑥𝐵))
71eldm2 4825 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
87anbi1i 458 . . . . 5 ((𝑥 ∈ dom 𝐴𝑥𝐵) ↔ (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴𝑥𝐵))
93, 6, 83bitr4i 212 . . . 4 (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐴𝑥𝐵))
102, 9bitr2i 185 . . 3 ((𝑥 ∈ dom 𝐴𝑥𝐵) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐴𝐵))
1110ineqri 3328 . 2 (dom 𝐴𝐵) = dom (𝐴𝐵)
12 incom 3327 . 2 (dom 𝐴𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
1311, 12eqtr3i 2200 1 dom (𝐴𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  cin 3128  cop 3595  dom cdm 4626  cres 4628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-dm 4636  df-res 4638
This theorem is referenced by:  ssdmres  4929  dmresexg  4930  imadisj  4990  ndmima  5005  imainrect  5074  dmresv  5087  resdmres  5120  funimacnv  5292  fnresdisj  5326  fnres  5332  ssimaex  5577  fnreseql  5626  respreima  5644  ffvresb  5679  fsnunfv  5717  funfvima  5748  offres  6135  smores  6292  smores3  6293  smores2  6294  fnfi  6935  sbthlemi5  6959  sbthlem7  6961  dmaddpi  7323  dmmulpi  7324  fvsetsid  12495  setsfun  12496  setsfun0  12497  setsresg  12499  lmres  13718  metreslem  13850
  Copyright terms: Public domain W3C validator