Theorem dmres 4925

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Proof of Theorem dmres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2740	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm2 4822	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵))
3		19.41v 1902	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		vex 2740	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	4	opelres 4909	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	exbii 1605	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
7	1	eldm2 4822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	7	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	3, 6, 8	3bitr4i 212	. . . 4 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	2, 9	bitr2i 185	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵))
11	10	ineqri 3328	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = dom (𝐴 ↾ 𝐵)
12		incom 3327	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
13	11, 12	eqtr3i 2200	1 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3128  ⟨cop 3595  dom cdm 4624   ↾ cres 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4002  df-opab 4063  df-xp 4630  df-dm 4634  df-res 4636

This theorem is referenced by:  ssdmres  4926  dmresexg  4927  imadisj  4987  ndmima  5002  imainrect  5071  dmresv  5084  resdmres  5117  funimacnv  5289  fnresdisj  5323  fnres  5329  ssimaex  5574  fnreseql  5623  respreima  5641  ffvresb  5676  fsnunfv  5714  funfvima  5744  offres  6131  smores  6288  smores3  6289  smores2  6290  fnfi  6931  sbthlemi5  6955  sbthlem7  6957  dmaddpi  7319  dmmulpi  7320  fvsetsid  12486  setsfun  12487  setsfun0  12488  setsresg  12490  lmres  13530  metreslem  13662