Theorem xrnemnf 9457

Description: An extended real other than minus infinity is real or positive infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrnemnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem xrnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.61 766	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
2		elxr 9456	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3		df-3or 946	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
4	2, 3	bitri 183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
5		df-ne 2283	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
6	4, 5	anbi12i 453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
7		renemnf 7738	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
8		pnfnemnf 7744	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
9		neeq1 2295	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
10	8, 9	mpbiri 167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
11	7, 10	jaoi 688	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
12	11	neneqd 2303	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
13	12	pm4.71i 386	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
14	1, 6, 13	3bitr4i 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 680   ∨ w3o 944   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2282  ℝcr 7546  +∞cpnf 7721  -∞cmnf 7722  ℝ^*cxr 7723

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728

This theorem is referenced by:  xaddf  9520  xaddval  9521  xaddnemnf  9533  xaddass  9545  xlesubadd  9559  xblss2ps  12393  xblss2  12394