Theorem 2omotaplemap 7617

Description: Lemma for 2omotap 7619. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omotaplemap	⊢ (¬ ¬ 𝜑 → {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} TAp 2o)

Distinct variable group:   𝜑,𝑢,𝑣

Proof of Theorem 2omotaplemap

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabssxp 4847	. . 3 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ⊆ (2o × 2o)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ⊆ (2o × 2o))
3		df-br 4129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
4		neeq1 2433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ 𝑎 ≠ 𝑣))
5	4	anbi2d 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑣)))
6		neeq2 2434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑎 ≠ 𝑣 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
7	6	anbi2d 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
8	5, 7	opelopab2 4411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
9	3, 8	bitrid 192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
10		df-br 4129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ↔ ⟨𝑏, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
11		neeq1 2433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ 𝑏 ≠ 𝑣))
12	11	anbi2d 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑣)))
13		neeq2 2434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑏 ≠ 𝑣 ↔ 𝑏 ≠ 𝑎))
14	13	anbi2d 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
15	12, 14	opelopab2 4411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑎 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
16	15	ancoms 268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
17		necom 2504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
18	17	anbi2i 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
19	16, 18	bitrdi 196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
20	10, 19	bitrid 192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
21	9, 20	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎))
22	21	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎))
23	22	rgen2 2636	. . . 4 ⊢ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎)
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎))
25		neirr 2429	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑎 ≠ 𝑎
26	25	intnan 941	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)
27		df-br 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ↔ ⟨𝑎, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
28		neeq2 2434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑎 ≠ 𝑣 ↔ 𝑎 ≠ 𝑎))
29	28	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)))
30	5, 29	opelopab2 4411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑎 ∈ 2o) → (⟨𝑎, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)))
31	30	anidms 401	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 2o → (⟨𝑎, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)))
32	27, 31	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 2o → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)))
33	26, 32	mtbiri 686	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 2o → ¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎)
34	33	rgen 2603	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ 2o ¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎
35	24, 34	jctil 312	. 2 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → (∀𝑎 ∈ 2o ¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎)))
36	9	3adant3 1048	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → 𝑎 = 𝑐)
38		simplrr 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → 𝑎 ≠ 𝑏)
39	37, 38	eqnetrrd 2446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → 𝑐 ≠ 𝑏)
40	39	necomd 2506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → 𝑏 ≠ 𝑐)
41	40	olcd 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → (𝑎 ≠ 𝑐 ∨ 𝑏 ≠ 𝑐))
42		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → ¬ 𝑎 = 𝑐)
43	42	neqned 2427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → 𝑎 ≠ 𝑐)
44	43	orcd 745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → (𝑎 ≠ 𝑐 ∨ 𝑏 ≠ 𝑐))
45		simpl1 1031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 2o)
46		2onn 6788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ ω
47		elnn 4751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → 𝑎 ∈ ω)
48	45, 46, 47	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ω)
49		simpl3 1033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑐 ∈ 2o)
50		elnn 4751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → 𝑐 ∈ ω)
51	49, 46, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑐 ∈ ω)
52		nndceq 6766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → DECID 𝑎 = 𝑐)
53	48, 51, 52	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → DECID 𝑎 = 𝑐)
54		exmiddc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = 𝑐 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 = 𝑐 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐))
56	41, 44, 55	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 ≠ 𝑐 ∨ 𝑏 ≠ 𝑐))
57		df-br 4129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ ⟨𝑎, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
58		neeq2 2434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝑎 ≠ 𝑣 ↔ 𝑎 ≠ 𝑐))
59	58	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
60	5, 59	opelopab2 4411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (⟨𝑎, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
61	60	3adant2 1047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (⟨𝑎, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
62	57, 61	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
64		ibar 301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
66	65	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
67	63, 66	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ 𝑎 ≠ 𝑐))
68		df-br 4129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
69		neeq2 2434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝑏 ≠ 𝑣 ↔ 𝑏 ≠ 𝑐))
70	69	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
71	12, 70	opelopab2 4411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
72	71	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
73	68, 72	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
75		ibar 301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
78	74, 77	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ 𝑏 ≠ 𝑐))
79	67, 78	orbi12d 805	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐) ↔ (𝑎 ≠ 𝑐 ∨ 𝑏 ≠ 𝑐)))
80	56, 79	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐))
81	80	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)))
82	36, 81	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)))
83	82	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o)) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)))
84	83	ralrimivvva 2633	. . 3 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o ∀𝑐 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)))
85	9	notbid 677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
86	85	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) → (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
87		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ ¬ 𝜑)
88		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
89		ancom 266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜑))
90	88, 89	sylnib 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜑))
91		imnan 701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 → ¬ 𝜑) ↔ ¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜑))
92	90, 91	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 ≠ 𝑏 → ¬ 𝜑))
93	87, 92	mtod 673	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ 𝑎 ≠ 𝑏)
94		simplrl 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 2o)
95	94, 46, 47	sylancl 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ω)
96		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 2o)
97		elnn 4751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → 𝑏 ∈ ω)
98	96, 46, 97	sylancl 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ω)
99		nndceq 6766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → DECID 𝑎 = 𝑏)
100	95, 98, 99	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → DECID 𝑎 = 𝑏)
101		nnedc 2425	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑎 = 𝑏 → (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏))
102	100, 101	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏))
103	93, 102	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 = 𝑏)
104	103	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) → (¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
105	86, 104	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) → (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑎 = 𝑏))
106	105	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑎 = 𝑏))
107	84, 106	jca 306	. 2 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → (∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o ∀𝑐 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)) ∧ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑎 = 𝑏)))
108		dftap2 7611	. 2 ⊢ ({⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} TAp 2o ↔ ({⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ⊆ (2o × 2o) ∧ (∀𝑎 ∈ 2o ¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎)) ∧ (∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o ∀𝑐 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)) ∧ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑎 = 𝑏))))
109	2, 35, 107, 108	syl3anbrc 1212	1 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} TAp 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  {copab 4189  ωcom 4735   × cxp 4770  2_oc2o 6675   TAp wtap 7608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-tr 4228  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-1o 6681  df-2o 6682  df-pap 7602  df-tap 7609

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7618