Theorem 2omotaplemap 7256

Description: Lemma for 2omotap 7258. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omotaplemap	⊢ (¬ ¬ 𝜑 → {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} TAp 2o)

Distinct variable group:   𝜑,𝑢,𝑣

Proof of Theorem 2omotaplemap

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabssxp 4701	. . 3 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ⊆ (2o × 2o)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ⊆ (2o × 2o))
3		df-br 4005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
4		neeq1 2360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ 𝑎 ≠ 𝑣))
5	4	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑣)))
6		neeq2 2361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑎 ≠ 𝑣 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
7	6	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
8	5, 7	opelopab2 4271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
9	3, 8	bitrid 192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
10		df-br 4005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ↔ ⟨𝑏, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
11		neeq1 2360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ 𝑏 ≠ 𝑣))
12	11	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑣)))
13		neeq2 2361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑏 ≠ 𝑣 ↔ 𝑏 ≠ 𝑎))
14	13	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
15	12, 14	opelopab2 4271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑎 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
16	15	ancoms 268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
17		necom 2431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
18	17	anbi2i 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
19	16, 18	bitrdi 196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
20	10, 19	bitrid 192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
21	9, 20	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎))
22	21	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎))
23	22	rgen2 2563	. . . 4 ⊢ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎)
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎))
25		neirr 2356	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑎 ≠ 𝑎
26	25	intnan 929	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)
27		df-br 4005	. . . . . 6 ⊢ (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ↔ ⟨𝑎, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
28		neeq2 2361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑎 ≠ 𝑣 ↔ 𝑎 ≠ 𝑎))
29	28	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)))
30	5, 29	opelopab2 4271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑎 ∈ 2o) → (⟨𝑎, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)))
31	30	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 2o → (⟨𝑎, 𝑎⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)))
32	27, 31	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 2o → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑎)))
33	26, 32	mtbiri 675	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 2o → ¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎)
34	33	rgen 2530	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ 2o ¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎
35	24, 34	jctil 312	. 2 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → (∀𝑎 ∈ 2o ¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎)))
36	9	3adant3 1017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → 𝑎 = 𝑐)
38		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → 𝑎 ≠ 𝑏)
39	37, 38	eqnetrrd 2373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → 𝑐 ≠ 𝑏)
40	39	necomd 2433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → 𝑏 ≠ 𝑐)
41	40	olcd 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑎 = 𝑐) → (𝑎 ≠ 𝑐 ∨ 𝑏 ≠ 𝑐))
42		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → ¬ 𝑎 = 𝑐)
43	42	neqned 2354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → 𝑎 ≠ 𝑐)
44	43	orcd 733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → (𝑎 ≠ 𝑐 ∨ 𝑏 ≠ 𝑐))
45		simpl1 1000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 2o)
46		2onn 6522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ ω
47		elnn 4606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → 𝑎 ∈ ω)
48	45, 46, 47	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ω)
49		simpl3 1002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑐 ∈ 2o)
50		elnn 4606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → 𝑐 ∈ ω)
51	49, 46, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑐 ∈ ω)
52		nndceq 6500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → DECID 𝑎 = 𝑐)
53	48, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → DECID 𝑎 = 𝑐)
54		exmiddc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = 𝑐 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 = 𝑐 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐))
56	41, 44, 55	mpjaodan 798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 ≠ 𝑐 ∨ 𝑏 ≠ 𝑐))
57		df-br 4005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ ⟨𝑎, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
58		neeq2 2361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝑎 ≠ 𝑣 ↔ 𝑎 ≠ 𝑐))
59	58	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
60	5, 59	opelopab2 4271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (⟨𝑎, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
61	60	3adant2 1016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (⟨𝑎, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
62	57, 61	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
64		ibar 301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
66	65	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
67	63, 66	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ 𝑎 ≠ 𝑐))
68		df-br 4005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))})
69		neeq2 2361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝑏 ≠ 𝑣 ↔ 𝑏 ≠ 𝑐))
70	69	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑣) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
71	12, 70	opelopab2 4271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
72	71	3adant1 1015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (⟨𝑏, 𝑐⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
73	68, 72	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
75		ibar 301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
78	74, 77	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ↔ 𝑏 ≠ 𝑐))
79	67, 78	orbi12d 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐) ↔ (𝑎 ≠ 𝑐 ∨ 𝑏 ≠ 𝑐)))
80	56, 79	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐))
81	80	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)))
82	36, 81	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)))
83	82	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o ∧ 𝑐 ∈ 2o)) → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)))
84	83	ralrimivvva 2560	. . 3 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o ∀𝑐 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)))
85	9	notbid 667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o) → (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
86	85	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) → (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 ↔ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
87		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ ¬ 𝜑)
88		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
89		ancom 266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜑))
90	88, 89	sylnib 676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜑))
91		imnan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 → ¬ 𝜑) ↔ ¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜑))
92	90, 91	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 ≠ 𝑏 → ¬ 𝜑))
93	87, 92	mtod 663	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ 𝑎 ≠ 𝑏)
94		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 2o)
95	94, 46, 47	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ω)
96		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 2o)
97		elnn 4606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → 𝑏 ∈ ω)
98	96, 46, 97	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ω)
99		nndceq 6500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → DECID 𝑎 = 𝑏)
100	95, 98, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → DECID 𝑎 = 𝑏)
101		nnedc 2352	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑎 = 𝑏 → (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏))
102	100, 101	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏))
103	93, 102	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) ∧ ¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 = 𝑏)
104	103	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) → (¬ (𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
105	86, 104	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((¬ ¬ 𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 2o ∧ 𝑏 ∈ 2o)) → (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑎 = 𝑏))
106	105	ralrimivva 2559	. . 3 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑎 = 𝑏))
107	84, 106	jca 306	. 2 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → (∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o ∀𝑐 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)) ∧ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑎 = 𝑏)))
108		dftap2 7250	. 2 ⊢ ({⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} TAp 2o ↔ ({⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} ⊆ (2o × 2o) ∧ (∀𝑎 ∈ 2o ¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑎)) ∧ (∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o ∀𝑐 ∈ 2o (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → (𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐 ∨ 𝑏{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑐)) ∧ ∀𝑎 ∈ 2o ∀𝑏 ∈ 2o (¬ 𝑎{⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))}𝑏 → 𝑎 = 𝑏))))
109	2, 35, 107, 108	syl3anbrc 1181	1 ⊢ (¬ ¬ 𝜑 → {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))} TAp 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   ⊆ wss 3130  ⟨cop 3596   class class class wbr 4004  {copab 4064  ωcom 4590   × cxp 4625  2_oc2o 6411   TAp wtap 7248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-tr 4103  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-1o 6417  df-2o 6418  df-pap 7247  df-tap 7249

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7257