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Theorem xposdif 9694
Description: Extended real version of posdif 8240. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xposdif ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))

Proof of Theorem xposdif
StepHypRef Expression
1 elxr 9592 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2 elxr 9592 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3 posdif 8240 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
4 rexsub 9665 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵𝐴))
54ancoms 266 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵𝐴))
65breq2d 3948 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
73, 6bitr4d 190 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
87ex 114 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
9 rexr 7834 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 pnfnlt 9602 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
1110adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
129, 11sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ +∞ < 𝐵)
13 simpl 108 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
1413breq1d 3946 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
1512, 14mtbird 663 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
16 0xr 7835 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
17 nltmnf 9603 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ¬ 0 < -∞
19 xnegeq 9639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
2019adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
21 xnegpnf 9640 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑒+∞ = -∞
2220, 21eqtrdi 2189 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 = -∞)
2322oveq2d 5797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 +𝑒 -∞))
24 renepnf 7836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
2524adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ +∞)
26 xaddmnf1 9660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
279, 25, 26syl2an2 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
2823, 27eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = -∞)
2928breq2d 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ↔ 0 < -∞))
3018, 29mtbiri 665 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
3115, 302falsed 692 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
3231ex 114 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
33 simpl 108 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = -∞)
34 mnflt 9598 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
3534adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
3633, 35eqbrtrd 3957 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
37 0ltpnf 9597 . . . . . . . . 9 0 < +∞
38 xnegeq 9639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
39 xnegmnf 9641 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑒-∞ = +∞
4038, 39eqtrdi 2189 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
4140oveq2d 5797 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 +𝑒 +∞))
4241adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 +𝑒 +∞))
43 renemnf 7837 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
4443adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
45 xaddpnf1 9658 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
469, 44, 45syl2an2 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4742, 46eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4837, 47breqtrrid 3973 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
4936, 482thd 174 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
5049ex 114 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
518, 32, 503jaoi 1282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
522, 51sylbi 120 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
53 ltpnf 9596 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5453adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < +∞)
55 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5654, 55breqtrrd 3963 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < 𝐵)
5755oveq1d 5796 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴))
58 rexneg 9642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
59 renegcl 8046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6058, 59eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
6160rexrd 7838 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6261adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6360renemnfd 7840 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
6463adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
65 xaddpnf2 9659 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
6662, 64, 65syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
6757, 66eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
6837, 67breqtrrid 3973 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
6956, 682thd 174 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
7069ex 114 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
71 pnfxr 7841 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
72 xrltnr 9595 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ¬ +∞ < +∞
74 breq12 3941 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < +∞))
7573, 74mtbiri 665 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
76 0re 7789 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
7776ltnri 7879 . . . . . . . . 9 ¬ 0 < 0
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
7919, 21eqtrdi 2189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
8079adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐴 = -∞)
8178, 80oveq12d 5799 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
82 pnfaddmnf 9662 . . . . . . . . . . 11 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
8381, 82eqtrdi 2189 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
8483breq2d 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ↔ 0 < 0))
8577, 84mtbiri 665 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
8675, 852falsed 692 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
8786ex 114 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐵 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
88 mnfltpnf 9600 . . . . . . . . 9 -∞ < +∞
89 breq12 3941 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < +∞))
9088, 89mpbiri 167 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < 𝐵)
91 oveq1 5788 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 +∞) = (+∞ +𝑒 +∞))
9241, 91sylan9eq 2193 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 +∞))
93 pnfnemnf 7843 . . . . . . . . . . 11 +∞ ≠ -∞
94 xaddpnf1 9658 . . . . . . . . . . 11 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 +∞) = +∞)
9571, 93, 94mp2an 423 . . . . . . . . . 10 (+∞ +𝑒 +∞) = +∞
9692, 95eqtrdi 2189 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
9737, 96breqtrrid 3973 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
9890, 972thd 174 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
9998ex 114 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐵 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
10070, 87, 993jaoi 1282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐵 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
1012, 100sylbi 120 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
102 rexr 7834 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
103102adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104 nltmnf 9603 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
105103, 104syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
106 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
107106breq2d 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
108105, 107mtbird 663 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
109106oveq1d 5796 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐴))
110 rexr 7834 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
111 renepnf 7836 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ +∞)
112 xaddmnf2 9661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = -∞)
113110, 111, 112syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = -∞)
11460, 113syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = -∞)
115114adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = -∞)
116109, 115eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = -∞)
117116breq2d 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ↔ 0 < -∞))
11818, 117mtbiri 665 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
119108, 1182falsed 692 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
120119ex 114 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
121 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
12271, 121mpbiri 167 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
123122adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
124123, 104syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
125 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
126125breq2d 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
127124, 126mtbird 663 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
12879oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = +∞ → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 +𝑒 -∞))
129128adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 +𝑒 -∞))
130 mnfxr 7845 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
131 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = -∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
132130, 131mpbiri 167 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
133 mnfnepnf 7844 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ≠ +∞
134 neeq1 2322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = -∞ → (𝐵 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
135133, 134mpbiri 167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ +∞)
136135adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ +∞)
137132, 136, 26syl2an2 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
138129, 137eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = -∞)
139138breq2d 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ↔ 0 < -∞))
14018, 139mtbiri 665 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
141127, 1402falsed 692 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
142141ex 114 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
143 xrltnr 9595 . . . . . . . . . 10 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
144130, 143ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ¬ -∞ < -∞
145 breq12 3941 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
146144, 145mtbiri 665 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
147 oveq1 5788 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
14841, 147sylan9eq 2193 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
149 mnfaddpnf 9663 . . . . . . . . . . 11 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
150148, 149eqtrdi 2189 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
151150breq2d 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ↔ 0 < 0))
15277, 151mtbiri 665 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
153146, 1522falsed 692 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
154153ex 114 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
155120, 142, 1543jaoi 1282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
1562, 155sylbi 120 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
15752, 101, 1563jaod 1283 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
1581, 157syl5bi 151 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))))
159158imp 123 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cr 7642  0cc0 7643  +∞cpnf 7820  -∞cmnf 7821  *cxr 7822   < clt 7823  cmin 7956  -cneg 7957  -𝑒cxne 9585   +𝑒 cxad 9586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-sub 7958  df-neg 7959  df-xneg 9588  df-xadd 9589
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