Theorem pcpre1 12235

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		eleq1 2233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ↔ 1 ∈ ℤ))
3	1, 2	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		1ne0 8935	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
5		neeq1 2353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
6	4, 5	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 0)
7	3, 6	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
10	8, 9	pcprecl 12232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
11	7, 10	sylan2 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
12	11	simprd 113	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁)
13		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
14	12, 13	breqtrd 4013	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∥ 1)
15		eluz2nn 9514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
17	11	simpld 111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18	16, 17	nnexpcld 10620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
19	18	nnzd 9322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
20		1nn 8878	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
21		dvdsle 11793	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 1 → (𝑃↑𝑆) ≤ 1))
22	19, 20, 21	sylancl 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 1 → (𝑃↑𝑆) ≤ 1))
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ≤ 1)
24	16	nncnd 8881	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℂ)
25	24	exp0d 10592	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑0) = 1)
26	23, 25	breqtrrd 4015	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0))
27	16	nnred 8880	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℝ)
28		0nn0 9139	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ ℕ0)
30		eluz2gt1 9550	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
31	30	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 1 < 𝑃)
32		nn0leexp2 10634	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑃) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1236	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
34	26, 33	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ≤ 0)
35	10	simpld 111	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
36	7, 35	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
37		nn0le0eq0 9152	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
38	36, 37	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
39	34, 38	mpbid 146	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  {crab 2452   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  supcsup 6956  ℝcr 7762  0cc0 7763  1c1 7764   < clt 7943   ≤ cle 7944  ℕcn 8867  2c2 8918  ℕ₀cn0 9124  ℤcz 9201  ℤ_≥cuz 9476  ↑cexp 10464   ∥ cdvds 11738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-dvds 11739

This theorem is referenced by:  pczpre  12240  pc1  12248