Theorem pcpre1 12557

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9397	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		eleq1 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ↔ 1 ∈ ℤ))
3	1, 2	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		1ne0 9103	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
5		neeq1 2388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 0)
7	3, 6	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
10	8, 9	pcprecl 12554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
11	7, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
12	11	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁)
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
14	12, 13	breqtrd 4069	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∥ 1)
15		eluz2nn 9686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
17	11	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18	16, 17	nnexpcld 10838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
19	18	nnzd 9493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
20		1nn 9046	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
21		dvdsle 12097	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 1 → (𝑃↑𝑆) ≤ 1))
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 1 → (𝑃↑𝑆) ≤ 1))
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ≤ 1)
24	16	nncnd 9049	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℂ)
25	24	exp0d 10810	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑0) = 1)
26	23, 25	breqtrrd 4071	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0))
27	16	nnred 9048	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℝ)
28		0nn0 9309	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ ℕ0)
30		eluz2gt1 9722	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 1 < 𝑃)
32		nn0leexp2 10853	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑃) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1252	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
34	26, 33	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ≤ 0)
35	10	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
36	7, 35	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
37		nn0le0eq0 9322	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
38	36, 37	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
39	34, 38	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  {crab 2487   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  supcsup 7083  ℝcr 7923  0cc0 7924  1c1 7925   < clt 8106   ≤ cle 8107  ℕcn 9035  2c2 9086  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647  ↑cexp 10681   ∥ cdvds 12040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-dvds 12041

This theorem is referenced by:  pczpre  12562  pc1  12570