Theorem pcpre1 12294

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		eleq1 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ↔ 1 ∈ ℤ))
3	1, 2	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		1ne0 8989	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
5		neeq1 2360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 0)
7	3, 6	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
10	8, 9	pcprecl 12291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
11	7, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
12	11	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁)
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
14	12, 13	breqtrd 4031	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∥ 1)
15		eluz2nn 9568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
17	11	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18	16, 17	nnexpcld 10678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
19	18	nnzd 9376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
20		1nn 8932	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
21		dvdsle 11852	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 1 → (𝑃↑𝑆) ≤ 1))
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 1 → (𝑃↑𝑆) ≤ 1))
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ≤ 1)
24	16	nncnd 8935	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℂ)
25	24	exp0d 10650	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑0) = 1)
26	23, 25	breqtrrd 4033	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0))
27	16	nnred 8934	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℝ)
28		0nn0 9193	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ ℕ0)
30		eluz2gt1 9604	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 1 < 𝑃)
32		nn0leexp2 10692	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑃) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1241	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
34	26, 33	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ≤ 0)
35	10	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
36	7, 35	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
37		nn0le0eq0 9206	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
38	36, 37	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
39	34, 38	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  {crab 2459   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  supcsup 6983  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   < clt 7994   ≤ cle 7995  ℕcn 8921  2c2 8972  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ↑cexp 10521   ∥ cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  pczpre  12299  pc1  12307