Theorem pcpre1 12928

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9549	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		eleq1 2294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ↔ 1 ∈ ℤ))
3	1, 2	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		1ne0 9253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
5		neeq1 2416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 0)
7	3, 6	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
10	8, 9	pcprecl 12925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
11	7, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
12	11	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁)
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
14	12, 13	breqtrd 4119	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∥ 1)
15		eluz2nn 9844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
17	11	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18	16, 17	nnexpcld 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
19	18	nnzd 9645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
20		1nn 9196	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
21		dvdsle 12468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 1 → (𝑃↑𝑆) ≤ 1))
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 1 → (𝑃↑𝑆) ≤ 1))
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ≤ 1)
24	16	nncnd 9199	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℂ)
25	24	exp0d 10975	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑0) = 1)
26	23, 25	breqtrrd 4121	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0))
27	16	nnred 9198	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℝ)
28		0nn0 9459	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ ℕ0)
30		eluz2gt1 9880	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 1 < 𝑃)
32		nn0leexp2 11018	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑃) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1277	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃↑𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
34	26, 33	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ≤ 0)
35	10	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
36	7, 35	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
37		nn0le0eq0 9472	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
38	36, 37	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
39	34, 38	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  {crab 2515   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  supcsup 7224  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   < clt 8256   ≤ cle 8257  ℕcn 9185  2c2 9236  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ↑cexp 10846   ∥ cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  pczpre  12933  pc1  12941