Theorem neap0mkv 16785

Description: The analytic Markov principle can be expressed either with two arbitrary real numbers, or one arbitrary number and zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
neap0mkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem neap0mkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		neeq2 2417	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 0))
3		breq2 4097	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 # 𝑦 ↔ 𝑥 # 0))
4	2, 3	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
5	4	rspcv 2907	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
7	6	ralimi 2596	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
8		neeq1 2416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0))
9		breq1 4096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
10	8, 9	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) ↔ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0)))
11	10	cbvralv 2768	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
12		neeq1 2416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 ≠ 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ≠ 0))
13		breq1 4096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) # 0))
14	12, 13	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 → (𝑥 − 𝑦) # 0)))
15		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
16		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 8602	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
19	14, 15, 18	rspcdva 2916	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 → (𝑥 − 𝑦) # 0))
20	16	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
22	20, 21	subeq0ad 8542	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
23	22	necon3bid 2444	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
24		subap0 8865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
25	20, 21, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
26	19, 23, 25	3imtr3d 202	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
27	26	ralrimivva 2615	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
28	11, 27	sylbi 121	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
29	7, 28	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075   − cmin 8392   # cap 8803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804

This theorem is referenced by:  ltlenmkv  16786