Theorem neap0mkv 14819

Description: The analytic Markov principle can be expressed either with two arbitrary real numbers, or one arbitrary number and zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
neap0mkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem neap0mkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7957	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		neeq2 2361	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 0))
3		breq2 4008	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 # 𝑦 ↔ 𝑥 # 0))
4	2, 3	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
5	4	rspcv 2838	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
7	6	ralimi 2540	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
8		neeq1 2360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0))
9		breq1 4007	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
10	8, 9	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) ↔ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0)))
11	10	cbvralv 2704	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
12		neeq1 2360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 ≠ 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ≠ 0))
13		breq1 4007	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) # 0))
14	12, 13	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 → (𝑥 − 𝑦) # 0)))
15		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
16		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 8338	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
19	14, 15, 18	rspcdva 2847	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 → (𝑥 − 𝑦) # 0))
20	16	recnd 7986	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17	recnd 7986	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
22	20, 21	subeq0ad 8278	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
23	22	necon3bid 2388	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
24		subap0 8600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
25	20, 21, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
26	19, 23, 25	3imtr3d 202	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
27	26	ralrimivva 2559	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
28	11, 27	sylbi 121	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
29	7, 28	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  0cc0 7811   − cmin 8128   # cap 8538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539

This theorem is referenced by:  ltlenmkv  14820