Theorem neap0mkv 15970

Description: The analytic Markov principle can be expressed either with two arbitrary real numbers, or one arbitrary number and zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
neap0mkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem neap0mkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8071	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		neeq2 2389	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 0))
3		breq2 4047	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 # 𝑦 ↔ 𝑥 # 0))
4	2, 3	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
5	4	rspcv 2872	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
7	6	ralimi 2568	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
8		neeq1 2388	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0))
9		breq1 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
10	8, 9	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) ↔ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0)))
11	10	cbvralv 2737	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
12		neeq1 2388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 ≠ 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ≠ 0))
13		breq1 4046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) # 0))
14	12, 13	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 → (𝑥 − 𝑦) # 0)))
15		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
16		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 8452	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
19	14, 15, 18	rspcdva 2881	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 → (𝑥 − 𝑦) # 0))
20	16	recnd 8100	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17	recnd 8100	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
22	20, 21	subeq0ad 8392	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
23	22	necon3bid 2416	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
24		subap0 8715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
25	20, 21, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
26	19, 23, 25	3imtr3d 202	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
27	26	ralrimivva 2587	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
28	11, 27	sylbi 121	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
29	7, 28	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ∀wral 2483   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  ℝcr 7923  0cc0 7924   − cmin 8242   # cap 8653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654

This theorem is referenced by:  ltlenmkv  15971