Theorem neap0mkv 15629

Description: The analytic Markov principle can be expressed either with two arbitrary real numbers, or one arbitrary number and zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
neap0mkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem neap0mkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8021	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		neeq2 2378	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 0))
3		breq2 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 # 𝑦 ↔ 𝑥 # 0))
4	2, 3	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
5	4	rspcv 2861	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
7	6	ralimi 2557	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
8		neeq1 2377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0))
9		breq1 4033	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
10	8, 9	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) ↔ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0)))
11	10	cbvralv 2726	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
12		neeq1 2377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 ≠ 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ≠ 0))
13		breq1 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) # 0))
14	12, 13	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 → (𝑥 − 𝑦) # 0)))
15		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
16		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 8402	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
19	14, 15, 18	rspcdva 2870	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 → (𝑥 − 𝑦) # 0))
20	16	recnd 8050	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17	recnd 8050	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
22	20, 21	subeq0ad 8342	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
23	22	necon3bid 2405	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
24		subap0 8664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
25	20, 21, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
26	19, 23, 25	3imtr3d 202	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
27	26	ralrimivva 2576	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
28	11, 27	sylbi 121	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
29	7, 28	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874   − cmin 8192   # cap 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

This theorem is referenced by:  ltlenmkv  15630