Theorem ltlenmkv 16734

Description: If < can be expressed as holding exactly when ≤ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 16732). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8211	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
3	2	abscld 11762	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
4	2	absge0d 11765	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ≠ 0)
6	2, 5	absne0d 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ≠ 0)
7		breq2 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (abs‘𝑧)))
8		breq2 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ (abs‘𝑧)))
9		neeq1 2415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (𝑦 ≠ 0 ↔ (abs‘𝑧) ≠ 0))
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)) ↔ (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0))))
12		breq1 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑦))
13		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
14		neeq2 2416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑦 ≠ 0))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
17	16	ralbidv 2532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
19		0red 8183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
20	17, 18, 19	rspcdva 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
21	11, 20, 3	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
22	4, 6, 21	mpbir2and 952	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑧))
23	3, 22	gt0ap0d 8812	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) # 0)
24		abs00ap 11643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 # 0)
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
28	27	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
29		neeq1 2415	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
30		breq1 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
32	31	cbvralv 2767	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
33	28, 32	sylib 122	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
34		neap0mkv 16733	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
35	33, 34	sylibr 134	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  ℂcc 8033  ℝcr 8034  0cc0 8035   < clt 8217   ≤ cle 8218   # cap 8764  abscabs 11578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153  ax-arch 8154  ax-caucvg 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-rp 9892  df-seqfrec 10714  df-exp 10805  df-cj 11423  df-re 11424  df-im 11425  df-rsqrt 11579  df-abs 11580

This theorem is referenced by: (None)