Theorem ltlenmkv 15007

Description: If < can be expressed as holding exactly when ≤ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 15005). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7989	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
3	2	abscld 11193	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
4	2	absge0d 11196	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ≠ 0)
6	2, 5	absne0d 11199	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ≠ 0)
7		breq2 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (abs‘𝑧)))
8		breq2 4009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ (abs‘𝑧)))
9		neeq1 2360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (𝑦 ≠ 0 ↔ (abs‘𝑧) ≠ 0))
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)) ↔ (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0))))
12		breq1 4008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑦))
13		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
14		neeq2 2361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑦 ≠ 0))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
17	16	ralbidv 2477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
19		0red 7961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
20	17, 18, 19	rspcdva 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
21	11, 20, 3	rspcdva 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
22	4, 6, 21	mpbir2and 944	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑧))
23	3, 22	gt0ap0d 8589	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) # 0)
24		abs00ap 11074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 # 0)
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
28	27	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
29		neeq1 2360	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
30		breq1 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
32	31	cbvralv 2705	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
33	28, 32	sylib 122	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
34		neap0mkv 15006	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
35	33, 34	sylibr 134	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  ℂcc 7812  ℝcr 7813  0cc0 7814   < clt 7995   ≤ cle 7996   # cap 8541  abscabs 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011

This theorem is referenced by: (None)