Theorem ltlenmkv 16873

Description: If < can be expressed as holding exactly when ≤ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 16871). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8304	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
3	2	abscld 11870	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
4	2	absge0d 11873	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ≠ 0)
6	2, 5	absne0d 11876	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ≠ 0)
7		breq2 4115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (abs‘𝑧)))
8		breq2 4115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ (abs‘𝑧)))
9		neeq1 2427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (𝑦 ≠ 0 ↔ (abs‘𝑧) ≠ 0))
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)) ↔ (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0))))
12		breq1 4114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑦))
13		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
14		neeq2 2428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑦 ≠ 0))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
17	16	ralbidv 2544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
19		0red 8277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
20	17, 18, 19	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
21	11, 20, 3	rspcdva 2928	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
22	4, 6, 21	mpbir2and 953	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑧))
23	3, 22	gt0ap0d 8905	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) # 0)
24		abs00ap 11751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 # 0)
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
28	27	ralrimiva 2617	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
29		neeq1 2427	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
30		breq1 4114	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
32	31	cbvralv 2780	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
33	28, 32	sylib 122	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
34		neap0mkv 16872	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
35	33, 34	sylibr 134	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  ℂcc 8127  ℝcr 8128  0cc0 8129   < clt 8310   ≤ cle 8311   # cap 8857  abscabs 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-rp 9990  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688

This theorem is referenced by: (None)