Theorem ltlenmkv 16982

Description: If < can be expressed as holding exactly when ≤ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 16980). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8318	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
3	2	abscld 11891	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
4	2	absge0d 11894	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ≠ 0)
6	2, 5	absne0d 11897	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ≠ 0)
7		breq2 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (abs‘𝑧)))
8		breq2 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ (abs‘𝑧)))
9		neeq1 2427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (𝑦 ≠ 0 ↔ (abs‘𝑧) ≠ 0))
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)) ↔ (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0))))
12		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑦))
13		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
14		neeq2 2428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑦 ≠ 0))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
17	16	ralbidv 2544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
19		0red 8291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
20	17, 18, 19	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
21	11, 20, 3	rspcdva 2928	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
22	4, 6, 21	mpbir2and 953	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑧))
23	3, 22	gt0ap0d 8920	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) # 0)
24		abs00ap 11772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 # 0)
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
28	27	ralrimiva 2617	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
29		neeq1 2427	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
30		breq1 4117	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
32	31	cbvralv 2780	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
33	28, 32	sylib 122	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
34		neap0mkv 16981	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
35	33, 34	sylibr 134	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143   < clt 8324   ≤ cle 8325   # cap 8872  abscabs 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by: (None)