Theorem ltlenmkv 16825

Description: If < can be expressed as holding exactly when ≤ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 16823). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8290	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
3	2	abscld 11844	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
4	2	absge0d 11847	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 ≠ 0)
6	2, 5	absne0d 11850	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) ≠ 0)
7		breq2 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (abs‘𝑧)))
8		breq2 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ (abs‘𝑧)))
9		neeq1 2425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → (𝑦 ≠ 0 ↔ (abs‘𝑧) ≠ 0))
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (abs‘𝑧) → ((0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)) ↔ (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0))))
12		breq1 4105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑦))
13		breq1 4105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
14		neeq2 2426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑦 ≠ 0))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
17	16	ralbidv 2542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0))))
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
19		0red 8263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
20	17, 18, 19	rspcdva 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 0)))
21	11, 20, 3	rspcdva 2925	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (0 < (abs‘𝑧) ↔ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≠ 0)))
22	4, 6, 21	mpbir2and 953	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑧))
23	3, 22	gt0ap0d 8891	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (abs‘𝑧) # 0)
24		abs00ap 11725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((abs‘𝑧) # 0 ↔ 𝑧 # 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → 𝑧 # 0)
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
28	27	ralrimiva 2615	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0))
29		neeq1 2425	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
30		breq1 4105	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0)))
32	31	cbvralv 2777	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≠ 0 → 𝑧 # 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
33	28, 32	sylib 122	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
34		neap0mkv 16824	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 0 → 𝑥 # 0))
35	33, 34	sylibr 134	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∀wral 2520   class class class wbr 4102  ‘cfv 5343  ℂcc 8113  ℝcr 8114  0cc0 8115   < clt 8296   ≤ cle 8297   # cap 8843  abscabs 11660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232  ax-pre-mulext 8233  ax-arch 8234  ax-caucvg 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-po 4408  df-iso 4409  df-iord 4478  df-on 4480  df-ilim 4481  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-frec 6613  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-ap 8844  df-div 8935  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-4 9286  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-rp 9973  df-seqfrec 10796  df-exp 10887  df-cj 11505  df-re 11506  df-im 11507  df-rsqrt 11661  df-abs 11662

This theorem is referenced by: (None)