Theorem pcqcl 12869

Description: Closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcqcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem pcqcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℚ)
2		elq 9846	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
4		nncn 9141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		nnap0 9162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
6	4, 5	div0apd 8957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 / 𝑦) = 0)
7	6	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 / 𝑦) = 0)
8		oveq1 6020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
9	8	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
10	7, 9	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
11	10	necon3d 2444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
12		an32 562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
13		pcdiv 12865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
14		pczcl 12861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
16	15	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
17		nnz 9488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
18		nnne0 9161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
19	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0))
20		pczcl 12861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
21	20	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
22	19, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
23	22	3adant2 1040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
24	16, 23	zsubcld 9597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℤ)
25	13, 24	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
26	25	3expb 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
27	12, 26	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
28	27	expr 375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
29	11, 28	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
30		neeq1 2413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
31		oveq2 6021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
32	31	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ↔ (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
33	30, 32	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)))
34	29, 33	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
35	34	com23 78	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
36	35	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
37	36	adantrl 478	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
38	37	rexlimdvv 2655	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ))
39	3, 38	mpd 13	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509  (class class class)co 6013  0cc0 8022   − cmin 8340   / cdiv 8842  ℕcn 9133  ℤcz 9469  ℚcq 9843  ℙcprime 12669   pCnt cpc 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-pc 12848

This theorem is referenced by:  pcqdiv  12870  pcexp  12872  pcxcl  12874  pcxqcl  12875  pcadd  12903  qexpz  12915  expnprm  12916