ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcqcl GIF version

Theorem pcqcl 12247
Description: Closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqcl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem pcqcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 526 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℚ)
2 elq 9568 . . 3 (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
31, 2sylib 121 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
4 nncn 8873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 nnap0 8894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
64, 5div0apd 8691 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (0 / 𝑦) = 0)
76ad2antll 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 / 𝑦) = 0)
8 oveq1 5857 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
98eqeq1d 2179 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
107, 9syl5ibrcom 156 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
1110necon3d 2384 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
12 an32 557 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
13 pcdiv 12243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
14 pczcl 12239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 9319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
16153adant3 1012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
17 nnz 9218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
18 nnne0 8893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
1917, 18jca 304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0))
20 pczcl 12239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
2120nn0zd 9319 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
2219, 21sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
23223adant2 1011 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
2416, 23zsubcld 9326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℤ)
2513, 24eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
26253expb 1199 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
2712, 26sylan2b 285 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
2827expr 373 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
2911, 28syld 45 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
30 neeq1 2353 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
31 oveq2 5858 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
3231eleq1d 2239 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ↔ (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
3330, 32imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)))
3429, 33syl5ibrcom 156 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
3534com23 78 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
3635impancom 258 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
3736adantrl 475 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
3837rexlimdvv 2594 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ))
393, 38mpd 13 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  wrex 2449  (class class class)co 5850  0cc0 7761  cmin 8077   / cdiv 8576  cn 8865  cz 9199  cq 9565  cprime 12048   pCnt cpc 12225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-en 6715  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-gcd 11885  df-prm 12049  df-pc 12226
This theorem is referenced by:  pcqdiv  12248  pcexp  12250  pcxcl  12252  pcadd  12280  qexpz  12291  expnprm  12292
  Copyright terms: Public domain W3C validator