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Theorem xsubge0 9898
Description: Extended real version of subge0 8449. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 9793 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2 0xr 8021 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3 rexr 8020 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 9849 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 9877 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
64, 5sylan2 286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
73, 6sylan2 286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 xleadd1 9892 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
102, 7, 8, 9mp3an2i 1352 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
113adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xaddid2 9880 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
1311, 12syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
14 xnpcan 9889 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
1513, 14breq12d 4030 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
1610, 15bitrd 188 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
17 pnfxr 8027 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
18 xrletri3 9821 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
1917, 18mpan2 425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
20 rexr 8020 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 renepnf 8022 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
22 xaddmnf1 9865 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2320, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
24 mnflt0 9801 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ < 0
25 mnfxr 8031 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
26 xrlenlt 8039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (0 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 0))
272, 25, 26mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 0)
2827biimpi 120 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ -∞ → ¬ -∞ < 0)
2924, 28mt2 641 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 0 ≤ -∞
30 breq2 4021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 0 ≤ -∞))
3129, 30mtbiri 676 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
3231pm2.21d 620 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
3323, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
3433adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
35 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
3635a1d 22 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
37 eleq1 2251 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
3825, 37mpbiri 168 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
39 mnfnepnf 8030 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ≠ +∞
40 neeq1 2372 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
4139, 40mpbiri 168 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
4238, 41, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4342, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
4443adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
45 elxr 9793 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4645biimpi 120 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4734, 36, 44, 46mpjao3dan 1317 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
48 0le0 9025 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
49 oveq1 5897 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
50 pnfaddmnf 9867 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
5149, 50eqtrdi 2237 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = 0)
5248, 51breqtrrid 4055 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
5347, 52impbid1 142 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 𝐴 = +∞))
54 pnfge 9806 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
5554biantrurd 305 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
5619, 53, 553bitr4d 220 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
5756adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
58 xnegeq 9844 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
59 xnegpnf 9845 . . . . . . . 8 -𝑒+∞ = -∞
6058, 59eqtrdi 2237 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
6160adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
6261oveq2d 5906 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
6362breq2d 4029 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
64 breq1 4020 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
6564adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
6657, 63, 653bitr4d 220 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
67 oveq1 5897 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
68 mnfaddpnf 9868 . . . . . . . . . 10 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
6967, 68eqtrdi 2237 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
7069adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
7148, 70breqtrrid 4055 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
72 df-ne 2360 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
73 0lepnf 9807 . . . . . . . . 9 0 ≤ +∞
74 xaddpnf1 9863 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
7573, 74breqtrrid 4055 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
7672, 75sylan2br 288 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
77 xrmnfdc 9860 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = -∞)
78 exmiddc 837 . . . . . . . 8 (DECID 𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
7977, 78syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
8071, 76, 79mpjaodan 799 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
81 mnfle 9809 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
8280, 812thd 175 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
8382adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
84 xnegeq 9844 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
85 xnegmnf 9846 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
8684, 85eqtrdi 2237 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
8786adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
8887oveq2d 5906 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
8988breq2d 4029 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞)))
90 breq1 4020 . . . . 5 (𝐵 = -∞ → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
9190adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
9283, 89, 913bitr4d 220 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
9316, 66, 923jaodan 1316 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
941, 93sylan2b 287 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835  w3o 978   = wceq 1363  wcel 2159  wne 2359   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890  cr 7827  0cc0 7828  +∞cpnf 8006  -∞cmnf 8007  *cxr 8008   < clt 8009  cle 8010  -𝑒cxne 9786   +𝑒 cxad 9787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-xneg 9789  df-xadd 9790
This theorem is referenced by:  ssblps  14308  ssbl  14309
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