ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xsubge0 GIF version

Theorem xsubge0 9505
Description: Extended real version of subge0 8104. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 9404 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2 0xr 7684 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3 rexr 7683 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 9456 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 9484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
64, 5sylan2 282 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
73, 6sylan2 282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 xleadd1 9499 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
102, 7, 8, 9mp3an2i 1288 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
113adantl 273 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xaddid2 9487 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
1311, 12syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
14 xnpcan 9496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
1513, 14breq12d 3888 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
1610, 15bitrd 187 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
17 pnfxr 7690 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
18 xrletri3 9429 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
1917, 18mpan2 419 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
20 rexr 7683 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 renepnf 7685 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
22 xaddmnf1 9472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2320, 21, 22syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
24 mnflt0 9411 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ < 0
25 mnfxr 7694 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
26 xrlenlt 7701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (0 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 0))
272, 25, 26mp2an 420 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 0)
2827biimpi 119 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ -∞ → ¬ -∞ < 0)
2924, 28mt2 609 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 0 ≤ -∞
30 breq2 3879 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 0 ≤ -∞))
3129, 30mtbiri 641 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
3231pm2.21d 589 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
3323, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
3433adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
35 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
3635a1d 22 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
37 eleq1 2162 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
3825, 37mpbiri 167 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
39 mnfnepnf 7693 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ≠ +∞
40 neeq1 2280 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
4139, 40mpbiri 167 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
4238, 41, 22syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4342, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
4443adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
45 elxr 9404 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4645biimpi 119 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4734, 36, 44, 46mpjao3dan 1253 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
48 0le0 8667 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
49 oveq1 5713 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
50 pnfaddmnf 9474 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
5149, 50syl6eq 2148 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = 0)
5248, 51syl5breqr 3911 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
5347, 52impbid1 141 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 𝐴 = +∞))
54 pnfge 9416 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
5554biantrurd 301 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
5619, 53, 553bitr4d 219 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
5756adantr 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
58 xnegeq 9451 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
59 xnegpnf 9452 . . . . . . . 8 -𝑒+∞ = -∞
6058, 59syl6eq 2148 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
6160adantl 273 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
6261oveq2d 5722 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
6362breq2d 3887 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
64 breq1 3878 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
6564adantl 273 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
6657, 63, 653bitr4d 219 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
67 oveq1 5713 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
68 mnfaddpnf 9475 . . . . . . . . . 10 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
6967, 68syl6eq 2148 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
7069adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
7148, 70syl5breqr 3911 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
72 df-ne 2268 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
73 0lepnf 9417 . . . . . . . . 9 0 ≤ +∞
74 xaddpnf1 9470 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
7573, 74syl5breqr 3911 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
7672, 75sylan2br 284 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
77 xrmnfdc 9467 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = -∞)
78 exmiddc 788 . . . . . . . 8 (DECID 𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
7977, 78syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
8071, 76, 79mpjaodan 753 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
81 mnfle 9419 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
8280, 812thd 174 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
8382adantr 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
84 xnegeq 9451 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
85 xnegmnf 9453 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
8684, 85syl6eq 2148 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
8786adantl 273 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
8887oveq2d 5722 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
8988breq2d 3887 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞)))
90 breq1 3878 . . . . 5 (𝐵 = -∞ → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
9190adantl 273 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
9283, 89, 913bitr4d 219 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
9316, 66, 923jaodan 1252 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
941, 93sylan2b 283 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670  DECID wdc 786  w3o 929   = wceq 1299  wcel 1448  wne 2267   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  cr 7499  0cc0 7500  +∞cpnf 7669  -∞cmnf 7670  *cxr 7671   < clt 7672  cle 7673  -𝑒cxne 9397   +𝑒 cxad 9398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-xneg 9400  df-xadd 9401
This theorem is referenced by:  ssblps  12353  ssbl  12354
  Copyright terms: Public domain W3C validator