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Theorem xsubge0 9852
Description: Extended real version of subge0 8406. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 9747 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2 0xr 7978 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3 rexr 7977 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 9803 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 9831 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
64, 5sylan2 286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
73, 6sylan2 286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 xleadd1 9846 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
102, 7, 8, 9mp3an2i 1342 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
113adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xaddid2 9834 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
1311, 12syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
14 xnpcan 9843 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
1513, 14breq12d 4011 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
1610, 15bitrd 188 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
17 pnfxr 7984 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
18 xrletri3 9775 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
1917, 18mpan2 425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
20 rexr 7977 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 renepnf 7979 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
22 xaddmnf1 9819 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2320, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
24 mnflt0 9755 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ < 0
25 mnfxr 7988 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
26 xrlenlt 7996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (0 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 0))
272, 25, 26mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 0)
2827biimpi 120 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ -∞ → ¬ -∞ < 0)
2924, 28mt2 640 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 0 ≤ -∞
30 breq2 4002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 0 ≤ -∞))
3129, 30mtbiri 675 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
3231pm2.21d 619 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
3323, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
3433adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
35 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
3635a1d 22 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
37 eleq1 2238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
3825, 37mpbiri 168 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
39 mnfnepnf 7987 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ≠ +∞
40 neeq1 2358 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
4139, 40mpbiri 168 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
4238, 41, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4342, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
4443adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
45 elxr 9747 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4645biimpi 120 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4734, 36, 44, 46mpjao3dan 1307 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
48 0le0 8981 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
49 oveq1 5872 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
50 pnfaddmnf 9821 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
5149, 50eqtrdi 2224 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = 0)
5248, 51breqtrrid 4036 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
5347, 52impbid1 142 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 𝐴 = +∞))
54 pnfge 9760 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
5554biantrurd 305 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
5619, 53, 553bitr4d 220 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
5756adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
58 xnegeq 9798 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
59 xnegpnf 9799 . . . . . . . 8 -𝑒+∞ = -∞
6058, 59eqtrdi 2224 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
6160adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
6261oveq2d 5881 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
6362breq2d 4010 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
64 breq1 4001 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
6564adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
6657, 63, 653bitr4d 220 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
67 oveq1 5872 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
68 mnfaddpnf 9822 . . . . . . . . . 10 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
6967, 68eqtrdi 2224 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
7069adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
7148, 70breqtrrid 4036 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
72 df-ne 2346 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
73 0lepnf 9761 . . . . . . . . 9 0 ≤ +∞
74 xaddpnf1 9817 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
7573, 74breqtrrid 4036 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
7672, 75sylan2br 288 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
77 xrmnfdc 9814 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = -∞)
78 exmiddc 836 . . . . . . . 8 (DECID 𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
7977, 78syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
8071, 76, 79mpjaodan 798 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
81 mnfle 9763 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
8280, 812thd 175 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
8382adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
84 xnegeq 9798 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
85 xnegmnf 9800 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
8684, 85eqtrdi 2224 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
8786adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
8887oveq2d 5881 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
8988breq2d 4010 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞)))
90 breq1 4001 . . . . 5 (𝐵 = -∞ → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
9190adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
9283, 89, 913bitr4d 220 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
9316, 66, 923jaodan 1306 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
941, 93sylan2b 287 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2146  wne 2345   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  cr 7785  0cc0 7786  +∞cpnf 7963  -∞cmnf 7964  *cxr 7965   < clt 7966  cle 7967  -𝑒cxne 9740   +𝑒 cxad 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-xneg 9743  df-xadd 9744
This theorem is referenced by:  ssblps  13496  ssbl  13497
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